که در رابطه بالا ψ ضریب کروی بودن شکل است که حاصل تقسیم مساحت سطح یک کره با حجمی معادل حجم ذره بر مساحت سطح ذره است. بنابراین n برای ذرات کروی شکل مساوی ۳ بوده و در این صورت معادله بالا به معادله ماکسول تبدیل می‌شود. هر دو معادله بالا عملاً برای ذراتی با اندازه های بزرگ‌تر و در مقیاس میلی و میکرو استخراج‌شده‌اند و کاربرد آن‌ها برای نانوسیالات ابهام‌آمیز بوده و به جوابهای معتبری منجر نخواهد شد.
ب- مدل‌های مبتنی بر حرکت براونی
حرکت براونی، حرکت یا جا به جایی تصادفی ذرات معلق در یک محلول است. در بحث نانوسیالات، این حرت تصادفی انرژی را به‌طور مستقیم از طریق نانوذرات منتقل می کند. مقالات زیادی در رابطه با اثر حرکت براونی بر ضریب هدایت گرمایی نانوسیالات وجود دارد. مدل‌های متعددی برای تعیین ضریب هدایت گرمایی نانوسیالات بر مبنای حرکت براونی نانوذرات تعریف‌شده‌اند که در اینجا بعضی از آن‌ها را معرفی می‌کنیم. باتاچاریا و همکاران[۶۹] [۲۸] با بهره گرفتن از شبیهسازی حرکت براونی ضریب هدایت گرمایی مؤثر نانوسیال را به‌صورت زیر تعریف کردند،
(۴-۱۱)
باید توجه کرد که در معادله (۴-۱۱)، kp ضریب هدایت گرمایی توده ذرات نیست و اثر حرکت براونی نانوذرات را در محاسبه ضریب هدایت گرمایی نانوسیال به همراه دارد. روشی به نام شبیهسازی دینامیک براونی برای محاسبه kp مورد استفاده قرار میگیرد و سپس از آن برای محاسبه knf استفاده می شود.
کو و کلینشتروئر[۷۰] [۲۴] ضریب هدایت گرمایی نانوسیالات را به‌صورت ترکیبی از دو قسمت مجزا موردتوجه قرار دادند،
(۴-۱۲)
که در آن kStatic افزایش هدایت گرمایی نانوسیال ناشی از عامل هدایت گرمایی بالاتر نانوذرات را در برمیگیرد و kBrownian اثر حرکت براونی را در نظر میگیرد. برای قسمت سکون[۷۱] مدل کلاسیک ماکسول پیشنهاد شد [۱۳]،
(۴-۱۳)
برای kBrownian، حرکت براونی ذرات همراه با اثر جا به جایی ذرات سیال با نانوذرات اطراف آن‌ها در نظر گرفته شد به‌عنوان نتیجه تعریف زیر پیشنهاد شد.
(۴-۱۴)
که در رابطه بالا، rp و rf به ترتیب چگالی نانوذرات و سیال پایه و T دما برحسب کلوین است. Cp,f ظرفیت گرمایی ویژه نانوسیال است. در این تحلیل، تقابل بین نانوذرات و حجم سیال در حال حرکت اطراف آن‌ها موردتوجه قرار نگرفته است و یک قسمت اضافی به‌منظور لحاظ کردن اثر آن معرفی شده است. متغیر از جدول ۴-۲ قابل‌استخراج است [۲۴].
جدول ۴-۲ تعیین متغیر برای استفاده در رابطه (۴-۱۴)
