در رابطه‌ی فوق، δبرحسب رادیان الکتریکی است. ثابت اینرسیHبرحسب ثانیه و به‌صورت زیر تعریف می‌شود.
که J اغلب اینرسی‌های ترکیب‌شده‌ی روتور و موتور محرک است که برحسبKg.m2داده می‌شود.
معادلات خطی شده‌ی ماشین سنکرون:
معادلات توصیف‌کننده‌ی رفتار ماشین‌های سنکرون غیرخطی است. لذا تنها با بهره گرفتن از برنامه‌های کامپیوتری می‌توان آن را حل کرد. در هر حال با توجه به رفتار شکل خطی شده‌ی این معادلات به هنگام جابه‌جایی‌های کوچک می‌توان دید وسیعی پیدا کرد. با اعمال بسط تیلور حول نقطه‌ی کار، خطی سازی انجام می‌شود. مجموعه‌ی حاصل از معادلات دیفرانسیلی خطی شده، رفتار دینامیکی جا به جایی‌های کوچک را در اطراف نقطه‌ی عملکرد توصیف می‌کند. در این صورت این ماشین‌هابه‌عنوان یک سیستم خطی با اغتشاش کوچک تلقی می‌شوند و نظریه‌ی اصلی سیستم‌های خطی برای محاسبه‌ی مقادیر ویژه و تعیین توابع انتقال برای طراحی کنترل‌گرهای مربوط به این ماشین‌هابه‌کاربرده می‌شود[۷].
در این قسمت معادلات غیرخطی ماشین سنکرون ،خطی می‌شوند. اگرچه این معادلات برای ولتاژهای استاتور در همه‌ی فرکانس‌ها معتبرند ، اما تنها برای فرکانس نامی مورد بررسی قرار می‌گیرد.
معادلات خطی شده‌ی ماشین به‌راحتی از معادلات ولتاژی که برحسب پارامترهای ثابت با نیروهای محرک ثابت و مستقل از زمان بیان شده‌اند، به دست می‌آید.در حالت شرایط دائمی متعادل چنین نیروهایی ارضاع می‌شوند. برای ماشین سنکرون این معادلات ولتاژی باید در دستگاه مرجع روتور بیان شوند. چون جریان‌ها و شارهای پیوندی متغیرهای مستقلی نیستند، لذا معادلات ماشین را می‌توان با جریان‌های شارهای پیوندی و یا شارهای پیوندی در واحد زمان به‌عنوان متغیرهای حالت در نظر گرفت. عموماً انتخاب متغیر حالت بستگی به نوع کاربرد دارد. در اینجا متغیرهای جریان انتخاب می‌شوند[۸].
فصل سوم
روش‌های انتگرال‌گیری عددی
روش اویلر
ساده‌ترین روش عددی برای حل مسائل مقدار اولیهIVP[1] روش اویلر است اگرچه از روش اویلر به‌ندرت استفاده می‌شود ولی تحلیل آن ساده است و انگاره‌های اصلی برای ساختن روش‌های پیشرفته‌تر را به دست می‌دهد .
فرض کنید می‌خواهیم جواب مسئله‌ی مقدار اولیه :
را در بازه‌ی به دست آوریم . درروش اویلر بازه‌ی را به N زیر بازه به طول تقسیم می‌کنیم . در این صورت نقاط شبکهعبارت‌اند از :
به hاندازه‌ی گام یا طول گام می‌گوییم . این روش عددی برای حل مسائل IVP با شروع از شرط اولیه ، تقریب های را برای محاسبه ی مقدار دقیق در نقاط شبکه می سازد .
برای به دست آوردن روش اویلر از بسط تیلور حول نقاط استفاده می‌کنیم . اگر x بر بازه‌ی دو بار به طور پیوسته مشتق پذیر باشد ، آنگاه :
(۳٫۱)
که در آن عددی بین و است با صرف نظر کردن از جمله خطا در رابطه (۳٫۳٫)با بهره گرفتن از رابطه (۱٫۳)خواهیم داشت .
اگر آنگاه روش اویلر به صورت زیر:
بدست می آید .
یک الگوریتم برای این روش در زیر نشان داده شده است .
روش رانگ- کوتا
همانطور که قبلا ذکر شد روش اویلر یک روش عملی مناسب نیست چون مشتق تابع باید به صورت تحلیلی محاسبه شود بنابراین از روش اویلر به‌ندرت استفاده می‌شود.
برای اجتناب از محاسبه ی مشتق های f اکنون روشی را بیان می‌کنیم که مقادیر را با همان دقت روش اویلر محاسبه می کند ، بدون این که لزومی برای محاسبه ی مشتقات f باشد[۹].
به این روش رانگ کوتا می گویند . ساده‌ترین حالت این روش رانگ کوتای مرتبه دو می باشد . در این روش به صورت زیر است :
که در آن :
مقادیر را به گونه ای تعیین می‌کنیم که رابطه ی۳-۷ تا حد ممکن دقیق باشد . برای این منظور ، رابطه ۳-۷ را با بسط تیلور حول یکی می گیریم چون :
وپس
همه ی توابع ۳-۱۰ در نقطه ی محاسبه شده اند بسط تیلور مرتبه ی ۱ تابع دو متغیره
حول نقطه به صورت
است بنابراین از رابطه ۳-۷ و ۳-۱۱ نتیجه می گیریم .
که درآن همه ی توابع در نقطه ی محاسبه شده اند با مقایسه روابط ۳-۱۰ و ۳-۱۱ دستگاه :
۳-۹
بدست می آید که ۳ معادله و ۴ مجهول دارد پس یکی از مجهولات را می توان به طور دلخواه انتخاب کرد معمولا از جواب و دستگاه فوق استفاده می‌شود . بدین ترتیب روش رانگ کوتای مرتبه ی دو که گاهی روش اویلر اصلاح شده نامیده می‌شود به صورت :
