(۳-۲۰)
حال فرض می‌شود افراد طوری مصرف سرانه را حداکثر می‌کنند که رفاه انتظاری طول دوره زندگی‌شان حداکثر شود:
(۳-۲۱)
در کل، آن‌ها باید محدودیت بودجه جامعه و نیز قاعده پس‌انداز را برای جامع فراهم کنند. در سطح خرد، یک نرخ بهره بازاری، به عنوان یک قید عمل می‌کند به طوری که مصرف را از تولیدکنندگان به وابسته‌ها (کودکان وپیرها) انتقال می‌دهد.
وام با بهره در مراحل بعدی زندگی به عنوان تولید جدید بازپرداخت می‌شود و سیستم مالیات دولت به عنوان قاعده پس‌انداز عمل می‌کند. آن‌چه مهم است این است که جامعه طوری عمل کند که رفاه فردی با توجه به محدودیت‌های جامعه و نیز قاعده پس‌انداز حداکثر شود. الگوی مصرف افراد طوری تعیین می‌شود که رشد بهره با رشد جمعیت برابر شود. یعنی:
(۳-۲۲)
که این مشابه همان شرط نرخ بهره حیاتی ساموئلسون است.
حال با توجه به این شرط در موقعیتی هستیم که می‌توان اثرات ناشی از افزایش جمعیت را بر روی رفاه مشاهده کرد:
(۳-۲۳)
حال اگر قید بودجه و محدودیت‌ها در معادله‌ی فوق جایگذاری شود:
(۳-۲۴)
در نتیجه با یک ساده‌سازی ریاضی خواهیم داشت:
(۳-۲۵)
و همچنین فرض می‌کنیم:
حال اگر مقادیر متوسط سن مصرف و متوسط سن کار که در ابتدا تعریف شد، در معادله‌ی فوق جایگذاری شود، خواهیم داشت:
(۳-۲۶)
اثرات کل رفاه زندگی، ناشی از افزایش جمعیت به صورت زیر بیان می‌شود:
اثر گسترش سرمایه+ اثر انتقالی بین نسلی اثر رفاه زندگی
۳-۴) بررسی اثر اندازه جمعیت بر رشد اقتصادی
در زمانه حاضر، جمعیت بزرگ‌تر، منافع بیشتری نسبت به هزینه‌های آن دارد. در این جا می‌توان بین اثرات رشد جمعیت و اثرات سطح جمعیت تمایز قائل شد. برای ارزیابی نرخ رشد سریع جمعیت، سیستم تامین اجتماعی را در نظر بگیرید. در این سیستم، نرخ رشد سریع برای جمعیت، کمک می‌کند که تعداد افراد شاغل به نسبت تعداد افراد بازنشسته افزایش یابد. در این سیستم که، مالیات اخذ شده از کارگران، عایدی و بازده سرمایه گذاری مالی برای مخارج و مراقبت‌های لازم از افراد پیر را فراهم می‌کند، تعداد بیشتر افراد جوان نسبت به تعداد افراد پیر، عایدی مالیات، نسبت به پرداختی‌ها به بازنشسته‌ها افزایش خواهد یافت. در این صورت، افراد جوان بیشتر، به کاهش بار مسئولیت سالمندان کمک می‌کند.
در بلندمدت و در نسل‌های زیادی اگر تعداد افراد جوان به اندازه کافی وجود داشته باشد، با اخذ مالیات از آن‌ها می‌توان به اثرات مثبت ذکر شده در بند قبل دست یافت. علاوه بر این، زمانی که نرخ رشد جمعیت سریع باشد، جامعه همواره دارای تعداد افراد جوان زیادی خواهد بود. این افراد جوان، به نسبت بسیار بیشتری از تعداد خودشان، محصولات و ایده‌های جدید، چه در علم، چه در هنر و چه در بقیه زمینه‌ها ایجاد می‌کنند.
در مورد جنبه‌های مثبت سطح جمعیت بزرگ نیز، به دو مورد می‌توان اشاره کرد. اول این که جمعیت بزرگ‌تر، به دنبال خود، بازار بزرگ‌تری برای تولیدات جدید مانند لوازم پزشکی و دارویی و کالاهایی که با فن‌آوری‌های بالا تولید می‌شوند را در پی خواهد داشت[۷۳].
دوم، بزرگ‌تر بودن سطح جمعیت، قلمرو بزرگ‌تری برای تقسیم نیروی کار، چه در درون یک کشور و چه در سطح جهان را نتیجه می‌دهد[۷۴].
این قسمت از پژوهش به منظور به تصویر کشیدن اثرات جمعیت بر فرایند کشف ایده‌ها و تحریک کردن پیشرفت‌های فن‌آوری، به تحلیل و استدلال در چارچوب نظریات جوزف شومپیتر می‌پردازد. نظریه رشد شومپیتری نوع خاصی از رشد اقتصادی است که بر پایه فرآیندهای تخریب خلاق[۷۵] (تخریب کالاهای قدیمی و ایجاد کالای جدید) مبتنی بر ابداع شکل می‌گیرد و به معرفی درون‌زای تولیدات جدید می‌پردازد (دینوپولوس[۷۶]، ۲۰۰۶). واژه‌ی درون‌زا به نوآوری‌های ناشی از سرمایه‌گذاری‌های به کار رفته در بخش تحقیق و توسعه باز می‌گردد.
جونز (۱۹۹۵) بیان می‌دارد که اثرات مقیاس، تضمین منطقی برای وجود رشد در مدل‌های رشد شومپیتری هستند، چرا که در نظریه رشد شومپیتر، این افراد جامعه هستند که تولیدات جدید و فرآیندهای جدید تولید را کشف می‌کنند. شومپیتر رشد را تغییرات آرام و تدریجی، در شرایط اقتصادی بلندمدت تلقی می‌کند که در نتیجه افزایش تدریجی در نرخ پس‌اندازها و جمعیت ایجاد می‌شود (قره‌باغیان، ۱۳۸۳).
در این بخش از پژوهش هدف این است که اثرات جمعیت بزرگ بر فرایند کشف ایده‌های جدید و همچنین اثرات جمعیت بزرگ بر تبدیل شدن ایده‌ها به فنون جدید تولید و تغییرات فن‌آوری نشان داده شود. برای دست‌یابی به این منظور، ابتدا با بسط مدل “اثر مقیاس"، تاثیر جمعیت بزرگ را بر فرایند کشف ایده‌های جدید در یک اقتصاد نشان داده و در ادامه با ارائه و تبیین مدل “اثر اندازه بازار"، نشان داده می‌شود که چگونه جمعیت بزرگ‌تر، می‌تواند به تخصص‌گرایی بیشتر، گسترش و عمیق‌تر شدن مهارت در بین کارگران، سرریز فن‌آوری‌ها از یک بخش اقتصاد به دیگر بخش‌ها و در نهایت، به سرعت گرفتن رشد اقتصادی منجر شود.
۳-۴-۱) مدل اثر مقیاس بر رشد اقتصادی
در اقتصادهای دانش‌محور امروزی، کشورهای با جمعیت بزرگ‌تر، به دلیل آن چیزی که اقتصاددانان آن را بازدهی فزاینده نسبت به مقیاس در تولید دانش جدید و درجه‌ی تخصص‌گرایی بیشتر در انواع مختلفی از سرمایه انسانی می‌نامند، سریع‌تر پیشرفت می‌کنند[۷۷](بکر، ۲۰۰۴). تابع تولید دانش، به این دلیل در معرض بازدهی‌های فزاینده است که جمعیت‌های بزرگ‌تر، باعث سرمایه‌گذاری‌های بزرگ‌تر در دانش می‌گردند و باعث تحریک شدن نوآوری‌ها در زمینه‌های مختلف اقتصاد می‌گردند. چرا که زمانی که جمعیت و تقاضای کل در حال افزایش باشد، بازار برای نوآوری‌ها بزرگ‌تر است، مخارج روی این نوآوری‌ها به سودآوری بیشتری گرایش دارد.
علاوه بر این، رشد جمعیت بیشتر، به معنی داشتن نیروی جوان بیشتر در یک اقتصاد است. همان طور که بکر بیان می‌کند ” افراد جوان تر در جامعه، سهم غیر متجانسی از ایده‌ها و محصولات جدید را، چه در فرهنگ، چه در کسب و کار و چه در هنر، نسبت به تعداد خودشان تولید می‌کنند. کاهش در تعداد افراد جوان، چه به طور مطلق و چه به طور نسبی، منجر به جامعه راکد و بی‌جنبشی می‌گردد. مدل ساده زیر که بر گرفته از مقاله دینوپولوس و تامپسون (۱۹۹۹) است، بر روی اثر جمعیت و نیروی کار بر ظهور ایده‌ها و فن‌آوری‌های جدید در اقتصاد متمرکز خواهد شد.
تابع تولید کالای نهایی به صورت زیر در نظر گرفته می‌شود:
(۳-۲۷)
که نیروی کار اختصاص داده شده به تولید کالای نهایی است و چگونگی دانش و فن‌آوری در زمان را بیان می‌کند. در مدلی که در اینجا تشریح می‌گردد، بهبود کیفیت و پیشرفت فن‌آوری با رابطه زیر بیان می‌گردد.
(۳-۲۸)
که معادل افزایش کیفیت کالا به نسبت کالای ماقبل خودش در صنعت است و تعداد نوآوری‌هایی است که تا زمان رخ داده‌اند. ورود نوآوری‌ها به یک صنعت تصادفی است و توسط یک فرایند پوآسون همگن کنترل می‌گردد که شدت آن معادل سرمایه‌گذاری موثر در R&D، ، است. تعداد زیاد صنایع مستقل و مشابه در اقتصاد، به همراه قانون اعداد بزرگ، به این دلالت دارد که رشد کل قطعی است :
(۳-۲۹)
رشد فن‌آوری طبق رابطه زیر توصیف می‌گردد:
(۳-۳۰)
که
این مدل که سرریزهای دانش به آن وارد گشته است، تضمین می‌کندکه رشد در بلندمدت تداوم یابد. در این مدل، هر نوآوری، افزایش متناسبی را در سطح کیفیت کالاها تامین می‌کند (معادله (۳-۲۸))، به طوری که هزینه‌های انتظاری یک نوآوری می‌تواند ثابت باشد (معادله (۳-۲۹)). اثر مقیاس در این مدل، از فرم تابعی که R&D موثر را به منابع اقتصاد مرتبط می‌کند، منتج می‌شود. فرم عمومی این رابطه به صورت زیر است:
(۳-۳۱)
که مقدار نیروی کار اختصاص داده شده به R&D و ، درجه‌ی دشواری R&D، در جهتی که ارزش‌های بالاتر نیازمند نیروی کار بیشتر برای دست‌یابی به سطح یکسانی از هستند، می‌باشد. یعنی سطح فزاینده‌ای از نیروی کار-مشغول در R&D- لازم است تا بتوان به مقدار مناسبی نوآوری ، در اقتصاد دست یافت.
با ترکیب روابط (۳-۳۰) و (۳-۳۱):
(۳-۳۲)
نتیجه می‌شود.
به این دلیل که نسبت نیروی کار اختصاص داده شده به R&D، یعنی در وضعیت یکنواخت ثابت است، نرخ رشد وضعیت یکنواخت ، دقیقا برابر با نرخ رشد جمعیت خواهد بود.
۳-۴-۲) اثر مقیاس اقتصاد بر پیشرفت فن‌آوری و رشد اقتصادی
۳-۴-۲-۱) اثر اندازه بازار
در اقتصادهای امروزه، اغلب علاوه بر بخش کشاورزی (بخش مبتنی بر منابع طبیعی) بخش شهری یا کارخانه‌ای نیز وجود دارد. در بخش شهری امکان جانشینی نیروی‌کار با منابع طبیعی به دلیل پیشرفت تکنولوژی و دانش فن‌آوری بیشتر است. در این بخش‌ها، افزایش جمعیت، به همراه گسترش شهرنشینی، موجب تشویق تخصص‌گرایی بیشتر و سرمایه‌گذاری بیشتر در سرمایه انسانی و انباشت سریع‌تر دانش‌های جدید می‌گردد. تخصص‌گرایی در مهارت‌های محدود، زمانی که بازار برای این مهارت‌ها بزرگ‌تر است بیشتر خواهد شد. از آن جایی که تعداد فروشندگان و خریدارانی که با هم در تعامل هستند اندازه بازار را تعیین می‌کنند، بر طبق تحلیل آدام اسمیت، زمانی که جمعیت بزرگ‌تر است، درآمدهای سرانه و رشد اقتصادی بیشتر خواهد شد. همچنین جمعیت بیشتر می‌تواند از طریق تخصص‌گرایی بیشتر، موجب سرریز تولید از مصرف شود. علاوه بر این، جمعیت بزرگ‌تر از طریق توسعه بازار و کاهش هزینه‌های همکاری متخصصان، منجر به تقسیم بیشتر نیروی‌کار و تخصص‌گرایی بیشتر می‌شود. این تقسیم کار اصلاح شده، موجب افزایش بهره‌وری و موثرتر شدن سرمایه انسانی افراد می‌گردد. از آن‌جایی که تراکم بالای جمعیت، برای درجه‌های بالای تخصص‌گرایی ضروری است، برای عمیق‌تر شدن مهارت‌ها و تولید مهارت‌های بیشتر و انتقال دانش‌ها ضروری است (بکر، ۲۰۰۴و۲۰۰۵). به بیان دیگر، افزایش جمعیت از طریق اندازه بازار، به گسترش مهارت‌ها منجر می‌گردد.
در این مدل، اثر مقیاس اقتصاد و بزرگ بودن بازار، بر تخصص گرایی بیشتر، فرایند مهارت محور شدن تغییرات فن‌آورانه، و سرریز فن‌آوری بین بخش‌های اقتصاد و تحریک شدن رشد اقتصادی نشان داده خواهد شد[۷۸]. در این زمینه،"اثر اندازه بازار” در ادبیات اقتصادی، توسط عاصم‌اغلو (۱۹۹۸و ۲۰۰۰) مورد تاکید قرار گرفت. این سازوکار، بر تاثیر متقابل عرضه نیروی کار ماهر و نرخ درون‌زای نوآوری استوار می‌باشد. در اینجا به منظور درون‌زا کردن شتاب در تغییرات فنی مهارت‌محور، با الهام از نظریه رشد شومپیتری، مدلی معرفی می‌گردد که بر پایه کارهای عاصم‌اغلو (۱۹۹۸و۲۰۰۰) و آگیون (۲۰۰۲) بنا گردیده است.
