روش دینامیکی: در این روش تلاش برای پی بردن وآشکارکردن رابطه تابعی بین مقادیرسری­زمانی و دینامیک حاکم بر مقادیر سری زمانی می­باشد. با بهره گرفتن از این روش می­توان اثرداده­های متوالی را بر یکدیگر بررسی و توصیفی از فرایند تحت بررسی به دست آورد.

با بهره گرفتن از روش دینامیکی، سری­های­زمانی آشوبی بر مبنای تئوری سیستم­های دینامیکی بررسی می­ شود. سیرتکامل زمانی^[۲۴]و رفتار سیستم­های دینامیکی، در فضای حالت مربوط به آن سیستم تعریف و معرفی می­شوند [۱۰]. از این رو در راستای تحلیل دینامیکی، ضرورت بازسازی فضای حالت پیش می ­آید. در این راستا تولید یک فضای برداری ( که در این­جا همان فضای حالت است ) برای یک سیستم به طوری که مشخص کننده­ رفتار حالت سیستم باشد بسیار مهم است.
پدیده­ آشوب و ویژگی­های آن را می­توان با استفاده ازسری­های زمانی حاصل از خروجی­های اندازه گیری شده، بررسی نمود. برای تفسیر مشاهداتی که نمودار آن­ها بر حسب زمان به صورت نامنظم و آشوبی به نظر می­رسد ابزارهای متفاوتی به کار می­رود. اگر این­گونه از سری­های زمانی، بدون استفاده از روش مناسب تحلیل شوند ممکن است به صورت نویز سفید تلقی شوند. در مورد سیستم­های معین وجود رفتارهای نامنظم در داده ­های اندازه ­گیری شده نشانگر غیرخطی بودن سیستم است.
به طور کلی روش­های خطی در استخراج برخی از خصوصیات سیستم مانند همبستگی خطی بین داده ­ها به کار می­روند. ماهیت سیستم­های خطی به گونه ­ای است که اعمال تغییرات کوچک در سیستم به اثرات کوچک منجر خواهد شد. به دلیل آن­که پاسخ سیستم­های خطی نمایی­ویا نوسانی است، مشاهده­ هر گونه رفتار غیرمنظم در سیستم را بایستی به ورودی خارجی تصادفی نسبت داد. اما با کشف تئوری آشوب مشخص گردید که ورودی تصادفی تنها منبع ممکن برای ایجاد بی­نظمی در خروجی سیستم نیست. به عبارت دیگر سیستم­های غیر خطی آشوبی با معادلات کاملاً معین قادر به ایجاد داده ­های بسیار نامنظم هستند. ساختار غیرخطی معلوم منجر به پیش ­بینی­پذیری کوتاه مدت^[۲۵]می­گردد. این نکته با سری زمانی قابل مشاهده نیست اما با رسم هر نقطه بر حسب نقطه قبلی مشهود است. این شکل نمایش را پرتره­ی فاز^[۲۶]می­نامند و به طور گسترده ای در تحلیل سری­های­زمانی غیرخطی استفاده می­ شود. به­ طور کلی سه ویژگی برای سری­های­زمانی آشوبی وجود دارد:

1. 1. سری­های­زمانی آشوبی ظاهری تصادفی دارند اما کاملاًمعین هستند؛

1. 1. سری­های­زمانی آشوبی دارای جاذب­هایی با بعد کسری یا فراکتال می­باشند؛

1. 1. سیستم­های آشوبی به شدت به شرایط اولیه حساس می­باشند.

در ادامه به شرح ویژگی­های فوق پرداخته شده است:

1. 1. سیگنال آشوبی بسیار شبیه نویز است این سیگنال­ها به شدت نامنظم وغیرخطی وغیر متناوب هستند. به همین علت مدت زیادی، آشوب به عنوان نویز در نظرگرفته می­شد یعنی برای یک سیستم آشوبی مانند نویز رفتاری کاملاًتصادفی و اتفاقی متصور بوده ­اند. مهمترین عامل در ایجاد چنین تصوری این بود که ابزار استفاده شده برای آنالیز فرآیندهای آشوبی مناسب نبودند. یکی ازاین ابزارها طیف توان می­باشد. سیگنال­های پریودیک و یا گوسی-پریودیک، طیف توانی با خطوط تیز نشان می­ دهند. حال اگر سیگنال نویز به این سیگنال­هااضافه شود یک سطح نسبتاً هموار و پیوسته به طیف اضافه می­ شود بنابراین در طیف توان، سیگنال ونویز قابل تشخیص است. از طرفی طیف سیگنال­های معین آشوبی هموار و پیوسته بوده اما شامل خطوط تیز نیزاست بنابراین بدون اطلاعات اضافی وتنها با مشاهده­ یک طیف توان پیوسته و با خطوط تیز نمی­ توان استنباط کرد که قسمت هموار و پیوسته به واسطه نویز روی یک سیگنال پریودیک ایجاد شده است یابه علت حضور سیگنال آشوبی می­باشد [۱۱]. به طور کلی به سیستمی معین گفته می­ شود که پیشامدهای آینده آن براساس پیشامدهای گذشته آن رقم بخورد. در مورد سیستمی با معادله تفاضلی به این معنی است که برای مقدار گذشته تابع مقدار آینده راتعیین می­ کند. در مورد سیستم­های آشوبی نیزاز لحاظ نظری با دانستن دقیق شرایط اولیه مقادیر آینده به طور متوالی قابل محاسبه است اما به خاطر وجود نویز در مقادیر اندازه ­گیری شده چنین چیزی اتفاق نمی­افتد.

1. 1. درسری زمانی آشوبی، جاذب یک خط ساده یا یک منحنی با بعد دو نیست بلکه یک شئ پیچیده است که منطقه­ای از صفحه را پر کرده است. به همین دلیل این نسبت صحیح نیست و در نتیجه بعدآن یک عدد صحیح نیست بلکه کسری است. جاذب یک سری آشوبی زمانی، یک شئ هندسی پیچیده است که رفتار بلند مدت یک سیستم در فضای حالت را نشان می­دهد.

1. 1. دو مسیر حالت که از فاصله بسیارنزدیک به هم آغاز می­شوند به سرعت از هم واگرا می­شوند و بعد ازآن کاملاً متفاوت خواهند بود. وجود این ویژگی باعث می­ شود که امکان پیش ­بینی تنها برای زمان­های کوتاه امکان­ پذیر باشد زیرا در سیستم­های واقعی امکان تعیین مقدار شرایط اولیه هرگز وجود ندارد. حساسیت شدید معادلات آشوبی به شرایط اولیه باعث می شود تا قدرت پیش ­بینی بلندمدت مقادیر آینده از دست برود.

تعاریف زیادی برای نگاشت آشوبی وجود دارد که تعریف دوانی^[۲۷]در ادامه بیان می­گردد[۱۲]. تعاریف زیر به ما در فهم کلّی
آن­چه در ادامه می ­آید کمک می­ کند.
تعریف ۴- سیستم دینامیکی آشوبی: به یک سیستم دینامیکی آشوبی گفته می­ شود اگر:
به شرایط اولیه حساسیت داشته باشد؛
رابطه توپولوژیکی باشد،
نقاط متناوب در I متراکم باشد.
نگاشت به شرایط اولیه حساس است اگر به ازای هر برای هر و یک همسایگیN از x ، ای وجودداشته باشد به طوری­که . (() به معنای اعمال n بار تابع است).
حساسیت به شرایط اولیه به معنای وجود دو مسیر در فضای فاز از یک نگاشت با اختلاف اندک در شرایط اولیه است که به طور متوسط به صورت نمایی واگرا می­ شود. نرخ متوسط تغییر، با نماهای لیاپانوف بیان می­ شود.
نگاشت یک رابطه انتقالی توپولوژیکی در مجموعه نامتغیر است اگر برای هرجفت زیر مجموعه باز U و V در I یک عدد مثبت n وجود داشته باشد به طوری که .
به صورت شهودی نگاشتی رابطه توپولوژیکی است که با تکرار، نهایتاً از یک همسایگی کوچک دلخواه به هر همسایگی دیگری حرکت کند یعنی یک قسمت کوچک جاذب با هر تکرار گسترش پیدا می­ کند به طوری­که تمام جاذب را می­پوشاند. این خاصیت اختلاط^[۲۸]نیز نامیده می­ شود.
نقاط متناوب یک نگاشت متراکم است اگر برای هر وهر همسایگی N ازx ، و وجود داشته باشد به طوری که .
۲-۴- سیستم­های دینامیکی گسسته
مقدار خروجی سیستم در لحظه n+1 تابعی از مقدار آن در لحظه n است:
(۲-۴)
دنباله را گردش می نامند. به عنوان مثال برای نگاشتی که به نگاشت ورهالست^[۲۹]معروف است داریم:
(۲-۵)
برای گردش مطابق نگاشت ورهالست به­ صورت {۰.۸,۰.۹۶,۰.۹۹۸,۱.۰,۱.۰,۱.۰,۱.۰,۱.۰,….} خواهد بود.
۲-۴-۱- معرفی ایده­های اصلی دینامیک یک دنباله غیر خطی با رفتار آشوبی
اگر مسیر همگرا باشد به نقطه ثابت همگرا می­ شود. یک روش تحلیل، روش گرافیکی است که در آن تابع وخط در صفحه دو بعدی رسم می­ شود و از نقطه شروع وبه نقطه وسپس به نقطه و همین­طور و ادامه می­یابد نقطه ثابتی که نگاشت از آن دور می­ شود را نقطه دافع می­گویند و به نقطه ثابتی که نگاشت به آن جذب می­ شود، نقطه جاذب گفته می­ شود. شکل (۲-۱) گردش برای تابع (نگاشت Logistic) برای مقادیر برای شکل سمت چپ و برای شکل سمت راست نشان می­دهد. اثبات می­ شود که اگر نقطه­ای جاذب باشد است واگر دافع با شد است[۵]. در صورتی که مسیر همگرا نشود اما بین دو نقطه نوسان کند شرایط به صورت زیر است:
یک نقطه متناوب در زمان n برای است اگر اما به ازای و باشد.
شکل(۲-۱): نمایش چرخش برای نگاشت به ازای k معین در شکل راست و در شکل سمت چپ است. در هر دو مورد نقطه نفطه جذب و نقطه صفر نقطه ثابت دفع است[۵].
۲-۵- مشخصات رفتار آشوبی از نظر ریاضی
رفتار آشوبی دارای سه مشخصه زیر است:

1. 1. داشتن نمای لیاپانوف مثبت؛

1. 1. آنتروپی مثبت محدود؛

1. 1. داشتن بعد غیر صحیح جاذب.

شاخص تشخیص رفتار آشوبی نمای لیاپانوف است. نمای لیاپانوف، میانگین نرخ­های نمایی برای واگرایی و همگرایی در مسیرهای حالت نزدیک به هم در فضای فاز هستند. از آن­جایی­که مسیرهای حالت نزدیک به هم بیانگر حالت­های تقریباً یکسان هستند واگرایی آن­ها به این معناست که اختلاف بسیارکوچک سبب می­گردد تا مسیرهای حالت به فاصله زمانی اندک، رفتاری کاملاً متفاوت داشته­باشند. هرسیستم دینامیکی با حداقل یک نمای لیاپانوف مثبت به عنوان سیستم آشوبی شناخته شود. اندازه نمای لیاپانوف بیان­گر بازه­ی زمانی است که دینامیک سیستم غیرقابل پیش ­بینی می­گردد. برای سیستم با دینامیک مشخص روش سرراستی برای محاسبه نمای لیاپانوف وجود دارد.
۲-۵-۱- محاسبه­ی نمای لیاپانوف
اگر سیستم از دو حالت بسیار نزدیک به هم مانند و تحول یابد پس از n تکرار اختلاف حالت آن را می­توان به صورت زیر نمایش داد:
(۲-۶)
شکل(۲-۲): تعریف نمای لیاپانوف[۱۳].
آهنگ میانگین این واگرایی را مشخص می­ کند مقدار میانگین باید روی تعداد زیادی شرایط اولیه که در طول مسیر توزیع شده ­اند محاسبه شود. با در نظر گرفتن نگاشت به صورت داریم :
(اختلاف بین دو حالت اولیه نزدیک به هم پس از n مرحله )
(۲-۷)
در حالت عمومی به شرایط اولیه بستگی دارد. بنابراین محاسبه آن برای مقادیر کوچک وقتی n به سمت بی­نهایت میل می­ کند به صورت زیر انجام می­ شود [۱۳]:
(۲-۸)
با بهره گرفتن از قاعده زنجیره­ای مشتق برای n امین تکرار داریم:
(۲-۹)