که مشابه رابطه قبلی بدست آمده از طریق فرمولبندی لاگرانژی است(از برخوردها چشم پوشی شده است).
فصل دوم
مفاهیم اولیه پلاسمای غبارآلود
۲-۱مقدمه۳،۲
انرژی به عنوان عامل حرکت و بقا نقش عظیم و حیاتی در زندگی انسان ها دارد. در این رابطه پلاسما میتواند به عنوان جزئی از پروسه ی تولید،ذخیره سازی، توزیع و مصرف انرژی مورد نیاز در جهان مطرح شود. اهمیت پلاسما نه تنها در بازده ی بالای آن در مصارف مختلف انرژی است، بلکه می تواند امکان فرآیندهای جدید و تولیدات مورد نیاز صنعت که محتاج به مقدار زیادی انرژی است را فراهم کند. در زمان باستان به چهار عنصر اعتقاد داشتند: خاک، آب، باد، آتش. در علم امروز نیز آن تفکر باستانی به صورت جامد، مایع، گازو پلاسما در آمده است. جامد و مایع و گاز را از قدیم در علوم، سه حالت ماده می نامیدند و ویلیام کروکس^[۴]در سال ۱۸۷۹ پلاسما را حالت چهارم ماده نامید.
در سال ۱۹۲۸، آروین لانگ مویر^[۵]برای اولین بار کلمه ی پلاسما را برای توصیف ناحیه ی داخلی(خارج از منطقه ی مرزها) گازیونیزه شده ی تابان که در تیوب تخلیه ی الکتریکی ایجاد شده استفاده نمود. اصطلاح پلاسما به گاز یونیزه شده ای اطلاق می شود که همه یا بخش قابل توجهی از اتم های آن یک یا چند الکترون از دست داده و به یون های مثبت تبدیل شده باشند.

پلاسما ترکیبی از الکترون ها، یون ها و اتم های خنثی است. در واقع پلاسما یک گاز بسیار داغ یونیزه است که برخوردهای شدید گرمایی همه یا بیشتر اتم های آن را به یون های مثبت و الکترون ها تفکیک کرده است البته میزان یونیدگی بستگی به دما دارد. اگر دما پایین باشد پلاسما تعداد قابل توجهی اتم خنثی خواهد داشت و اگر دما بالا باشد تقریباً همه اتم ها یونیزه خواهند شد.
اغلب گفته می شود که ۹۹% ماده جهان (که در آن غبار یکی از ذرات موجود در همه جا است)در حالت پلاسمااست.اما به نظر می رسد محیط زندگی ما،آن ۱% جهان است که در آن پلاسما بطور طبیعی یافت نمی شود. خورشید و همه ستارگان گوی های عظیمی ازپلاسما هستند. ابعاد ذرات غبار ممکن است بزرگتر از میکرون باشد، این ذرات خنثی نیستند و بسته به محیط پلاسمای احاطه کننده، ذرات می توانند بطور مثبت یا منفی باردار شوند. مخلوطی از چنین ذرات غبار یا ماکرو ذرات، الکترون ها و یون ها « پلاسمای غبارآلود» را تشکیل می دهند.اگر از جو زمین خارج شویم، حالت های پلاسمایی، حالت اغلب مواد در کیهان خواهد بود. انواع مختلفی از پلاسما در داخل کوتوله های سفید، فضای بین ستاره ای، سحابی های گازی، آذرخش ها، شفق قطبی ویونیسفرهمه پلاسماهای طبیعی هستند.گاز لوله های فلوئورسنت، تابلوهای نئون، قوس نورانی یک سیم جوش برقی، آتش اگزوز موشک و قسمت بالای آتش شعله شمع هم پلاسما هستند.
از نظر دمایی پلاسماها به دو دسته سرد و گرم تقسیم می شوند:
در پلاسمای سرد(پلاسمای غیر تعادلی) تعداد برخوردها کم است لذا انرژی الکترون که باید از طریق برخورد به یون منتقل شود برای الکترون باقی خواهد ماند. بنابراین الکترون ها بسیار داغ و یون ها بسیار کم انرژی اند.
در پلاسمای گرم(پلاسمای تعادلی) برخوردها آنقدر هست که الکترون ها بتوانند به قدر کافی انرژی خود را به یون ها منتقل کنند. در این صورت دما ی الکترون و یون تقریباً مساوی است.
۲-۲ معیارهای پلاسمای غبارآلود۴،۳
پلاسمای غبارآلود تعریف شده به عنوان پلاسمای یون- الکترون معمولی(عادی) ولی حاوی ذرات اضافی که باردار شده و ابعاد آن ها میکرون یا زیرمیکرون است. این ذرات اضافی از ذرات ماکرو، پیچیدگی های سیستم را افزایش می دهد. به این دلیل است که پلاسمای غبارآلود به"complex plasma"منتسب شده است. پلاسماهای غبارآلود کاملاً کم دما هستند یا گازهای اندک یونیزه شده حاوی یون ها و الکترون ها و دانه های غبار باردار شده و اتم های خنثی هستند. دانه های غبار سنگین هستندو رنج سایزشان از نانومتر تا میلیمتر است. دانه های غبار ممکن است فلزی باشند. اندازه و شکل دانه های غبار متفاوت خواهد شد مگر اینکه آن ها ساخت دست بشر باشند. پلاسما با ذرات یا دانه های غبار می تواند« پلاسمای غبارآلود»^[۶]یا «غبار در پلاسما »^[۷] هم نامیده شود که به تعدادی از طول های مشحصه وابسته است که اینها عبارتند از:
شعاع دانه (r_d)
متوسط فاصله داخلی دانه ها(a)
شعاع دبای پلاسما (_D)
و ابعاد پلاسمای غبارآلود (L)
برای پلاسمای کیهانی که شامل ذرات غبار باردار است دو رژیم اساسی وجود دارد که به غلظت دانه های غبار وابسته است. در هر دو مورد زیر، شعاع دانه کوچکترین طول های مشخصه است. در حالتa>r_d<<_D (که در آن ذرات غبار باردار شده به عنوان مجموعه ای از دانه های مجزا می باشد) متناظر با«غبار در پلاسما»است، و در صورتی که حالت r_d<< a <_D(که در آن ذرات غبار باردار شده در رفتار جمعی شرکت می کنند) متناظر با « پلاسمای غبارآلود» است.در بررسی رفتار جمعی پلاسمای غبارآلود باید فرایندهای باردار کردن ذرات غبار را هم مد نظر داشته باشیم. تفاوت های اساسی بین پلاسمای غبارآلود و پلاسمای الکترون- یون (یا چند یونی) در زیر ذکر شده است.وجود دانه های غبار باردارشده نه تنها امواج موجود یا فرکانس پایین(مثل امواج یون- صوتی(IAW) ، موجضربه ای^۳ سولیتونی^۴ یون- صوتی و غیره) را تغییرمی دهدبلکههمچنین گونه ی جدیدی از امواج وابسته به غبار با فرکانس پایینمثل امواجصوتی غبار(DAW) وامواجیون- صوتی غبار(DIAW) را معرفی می کند.
برای مثال، مشخصه ی شرط شبه خنثی بودن در پلاسمای یون- الکترون برابر با
n_e0= z_i n_i0
در حالی که این مورد در پلاسمای غبارآلود برابر با
Z_i n_i0=n_e0+ z_d n_d0
بار سنگین ترین ذره در پلاسمای یون – الکترون برابر با بار یون یعنی
q_i = z _ie
و در پلاسمای غبارآلود برابربا بار ذره ی غبار یعنی
q_d= z_de >> q_i
تغییرات بار در پلاسمای یون-الکترون ثابت است یعنی
q_i= constant
در حالیکه در پلاسمای غبارآلود تغییرات بار ذرات جریان خالصی ایجاد می کند یعنی
dq /dt = net current
جرم سنگین ترین ذره در پلاسمای یون-الکترون ذره یون می باشددر حالیکه در پلاسمای غبارآلود مربوط به ذره غبار است یعنی m_i≤ m_{d .}
فرکانس پلاسما در پلاسمای یون- الکترون با فرکانس پلاسمای یون مشخص می شود یعنی _piولی در پلاسمای غبارآلود با فرکانس ذرات غبار تعیین می شود _pi>>_pd .
شعاع دبای در پلاسمای یون- الکترون همان شعاع دبای الکترون است در حالیکه در پلاسمای غبارآلود داریم _De>>_Di. سایر ذرات در پلاسمای یون- الکترون یکنواخت است ولی در پلاسمای غبارآلود توزیع ذرات غبار وجود دارد. برهمکنش در پلاسمای یون- الکترون فقط دافعه است در حالیکه در پلاسمای غبارآلود بین ذرات غبار جاذبه وجود دارد.
فاز گذار در پلاسمای یون- الکترون نیست ولی در پلاسمای غبارآلود فاز گذار هست. در پلاسمای معمولی معمولی کریستال تشکیل نمی شود در حالیکه در پلاسمای غبارآلود کریستال غبار تشکیل می شود.
با شناختن مشخصات پلاسمای غبارآلود به طورصحیح تعدادی ازمشخصه هایپایه ای از قبیل خنثایی،
ماکروسکوپی حفاظ دبای، فرکانس مشخصه و غیره را در ذیل مورد بررسی قرار می دهیم.

جدول (۲-۱) تفاوت های اساسی بین پلاسمای الکترون-یون و پلاسمای غبار آلود
۲-۲-۱خنثایی ماکروسکوپی۴
زمانی که آشفتگی(اختلال) خارجی در سیستم موجود نباشد، مانند پلاسمای الکترون- یون پلاسمای غبارآلود نیز از لحاظ ماکروسکوپی خنثی است. به این معنی که در غیاب نیروهای خارجی بار الکتریکی خالص در پلاسمای غبار آلود صفر است. بنابراین شرط خنثایی بار در پلاسمای غبارآلود چنین است:
q_i n_i0= en_e0 – q_d (۲-۱)
به طوری که n_s0چگالی عددی غیر اختلالی گونه یsپلاسما است.(s برابرeبرای الکترون ها، iبرای یون ها و dبرای دانه های غبار است)،z_ie=q_i باریون است،q_d= z_de (- z_de ) بار ذره غباراست.وقتی که دانه های غبار به طور (منفی) باردار شده اند وeاندازه ی بار الکترون وz_dتعداد بارهای روی سطح دانه ی غبار است.
۲-۲-۲حفاظ دبای^[۸] در پلاسمای غبارآلود۴،۳
یکی از مشخصات اساسی رفتار پلاسما توانایی آن برای دفع پتانسیل های الکتریکی است که به آن اعمال می شوند.حفاظ دبای در پلاسمای غبارآلود به صورت زیر توصیف شده است:
فرض کنید می خواهیم در داخل یک پلاسما با وارد کردن دو گلوله ی باردار متصل به یک باطری،میدان الکتریکی به وجود آوریم (شکل۲-۱).این پلاسمای غبارآلود شامل یون و الکترون ها و ذرات غبار که به طورمثبت و یا منفی باردار شده اند، می باشد.
شکل (۲-۱) حفاظ دبای
این گلوله ها ذرات با بارهای مخالف را جذب خواهند کرد یعنی اگر بار گلوله مثبت باشد ابری از الکترون ها و ذرات غبار (که به طور منفی باردار شده) اطراف گلوله مثبت را فرا می گیرد واگر بار گلوله منفی باشد ابری از یون ها وذرات غبار (که به طور مثبت باردار شده )اطرافگلولهمنفی را فرا می گیرد. ونیز فرض می کنیم که بازترکیب ذرات پلاسما روی سطح گلوله رخ نمی دهد. اگر پلاسما سرد باشد و هیچ گونه حرکت حرارتی نداشته باشد، تعداد بارابر برابر تعداد بار گلوله می گردد، در این صورت عمل حفاظ کامل می شود و هیچ میدان الکتریکی در حجم پلاسما در خارج از ناحیه ابرها وجود نخواهد داشت. از طرف دیگر اگر دما معین و محدود باشد، ذراتی که در لبه ی ابر یعنی جائیکه میدان الکتریکی ضعیف است قرار دارند، انرژی حرارتی کافی برای فرار از چاه پتانسیل الکترواستاتیکی پیدا می کنند. در این صورت لبه ی ابر در شعاعی واقع می شود که در آن انرژی پتانسیل تقریباًبرابر با انرژی حرارتیK_BT_sذرات است بطوریکه k_B ثابت بولتزمن وT_s(دمای گونه ی s پلاسما است) و این متناظر با این است که حفاظ کامل نیست و پتانسیل الکتریکی محدودی در محیط پلاسما وجود خواهد داشت.
حال به محاسبه ضخامت تقریبی یک چنین ابر (غلاف) می پردازیم. فرض می کنیم پتانسیل®φ_Sدر مرکز ابر (r = 0)φ_s0است. همچنین فرض می کنیم که نسبت جرم غبار به جرم یون(m_d/m_i)آنقدر بزرگ است که اینرسی ذرات غبار مانع ازحرکت قابل ملاحظه ای می شود.الکترون ها و یون های فرض شده در تعادل ترمودینامیکی هستند و چگالی عددی آن ها n_iوn_eاز تابع توزیع بولتزمن تبعیت می کند،یعنی
 (۲-۲)
 (۲-۳)
بطوریکه n_e0 وn_i0 به ترتیب چگالی عددی الکترون ویون در فواصل دور از ابر هستند.برای پلاسمای غبار آلود معادله پواسون در یک بعد عبارت است از :
(۲-۴)