برای تخمین بردار حالت ، فیلترکالمن گسترش­یافته (EKF) پیشنهادشده است. معادلات فیلتر کالمن به دو دسته تقسیم می­ شود:

۱- معادلات به روزآوری زمان
۲- معادلات به روزآوری مشاهده
معادلات به روزآوری زمان، تخمین حالت جاری وکوواریانس خطا را برای استفاده درتخمین پیشین در زمان بعدی انجام می­دهد و بااستفاده از روابط به روزآوری اندازه ­گیری، اندازه ­گیری جدید را در تخمین پیشین، برای بهبود تخمین پسین ترکیب می­ کند. حال برای معادلات حالت واندازه­گیری­که قبلاً بیان شده است، گام­های الگوریتم EKF را ذکرمی­کنیم:
۱- معادلات به روزآوری زمان
پیش ­بینی ، به صورت زیر انجام می­ شود:
(۴-۲۹)
ماتریس کوواریانس خطای پیش ­بینی برابر است با:
(۴-۳۰)
که در آن و ماتریس همبستگی است به طوری­که رابطه برای آن­ها برقرار است.
۲- معادلات به روزآوری مشاهده
تخمین بدست­آمده در مرحله قبل برای تصحیح در این مرحله به صورت زیر فیلتر می­ شود:
(۴-۳۱)
در این رابطه بهره کالمن نامیده می­ شود که به صورت زیر به­دست­می ­آید:
(۴-۳۲)
در معادله بالا و ماتریس کوواریانس خطای برابر است با
(۴-۳۳)
در این رابطه d برابر بعد بردار حالت می­باشد. درشکل (۴-۸) بلوک دیاگرام همسانسازی بر مبنای EKF نشان داده شده است:
شکل(۴-۸): بلوک دیاگرام همسانسازی بر مبنای روش EKF.
در روش مبتنی بر EKF بهره کالمن ، نقشی مشابه پارامتر تزویج در روش مبتنی بر همزمانسازی تزویج شده ایفا می­ کند. تفاوت اصلی در آن است که مطابق دینامیک سیستم آشوبی و مدل کانال طی الگوریتم به صورت اتوماتیک تنظیم می­ شود. روش EKF به اطلاعاتی نظیر واریانس نویز اندازه ­گیری ونویز مدلسازی کانال نیاز دارد. در بیشتر کاربردهای عملی نویز ایستان است و در نتیجه واریانس نویز ثابت است. در مورد نویز مدلسازی ضرایب کانال، اگر طول مدل AR به اندازه کافی بزرگ باشد می­توان نویز مدلسازی را ایستان در نظر گرفت. در روش EKF تخمین کانال مخابراتی و بازیابی سیگنال ارسال شده بدون هیچ اطًلاعی در مورد سیگنال ارسالی انجام می­ شود این مورد به همسانسازی کور کانال اشاره دارد. همسانسازی کور یکی از روش­های محبوب برای کاهش اثر کانال در سیستم­های مخابراتی بی­سیم رایج است.
نتایج حاصل از همسانسازی با بهره گرفتن از روش­های مبتنی بر EKF وهمزمانسازی:
در این قسمت به بیان نتایج دو روش اخیر در همسانسازی می­پردازیم. در انجام شبیه­سازی­ها از نگاشت آشوبی Logistic استفاده شده­است. سیگنال ارسالی است که به معنای انتخاب به صورت تابع همانی یا است. معمولاً کوتاه­ترین مسیر از فرستنده به گیرنده مسیر غالب است و معمولاً دیگر مسیرها ضعیف­تر هستند. در این شبیه­سازی­ها از کانال به صورت فیلترینگ خطی با و معلوم فرض شده­است. در شکل (۴-۹) همسانسازی در غیاب نویز کانال با بهره گرفتن از روش­های مبتنی بر EKF و همزمانسازی نشان می­دهد. واضح است که روش مبتنی بر EKF سریع­تر از روش مبتنی بر همزمانسازی همگرا می­ شود [۶۲].
(الف)
(ب)
شکل(۴-۹): همسانسازی کانال به صورت فیلترینگ خطی. الف: روش مبتنی بر همزمانسازی ب: روش مبتنی بر EKF [62].
MSE بین سیگنال ارسالی با سیگنال دریافتی به صورت برای اندازه ­گیری بازدهی همسانسازی محاسبه می­ شود. کوچک­تر به مفهوم بازدهی بهتر برای همسانسازی است که منجر به کیفیت بهتر مخابرات برای بازیابی سیگنال اطّلاعات است. در شبیه­سازی­ها با فرض ایستان بودن نویز کانال با تغییر می­توان را بر حسب SNR مطابق شکل (۴-۱۰) به­دست آورد [۶۲]. مشاهده می­ شود که روش مبتنی بر EKF حدود در همه SNRها برتری دارد. در SNR بالا پدیده اشباع در روش مبتنی بر همزمانسازی رخ می­دهد.
شکل(۴-۱۰): MSE سیگنال دی­مدوله­شده به ازای SNRهای مختلف [۶۲].
در ادامه به بیان نتایج حاصل از همسانسازی مبتنی بر EKF در سیستم­های مخابراتی با مدولاسیون آشوبی می­پردازیم. با قراردادن سیگنال پیام در پارامتر دوشاخگی و البّته به شرط ماندن سیگنال در ناحیه آشوبی، سیگنال پیام ، مدوله می­ شود. اگر سیگنال پیام با مدل AR به صورت بیان شود که در آن با فرایند سفید گوسی و نیز مرتبه مدل AR است. مانند روش استفاده شده برای ضرایب کانال مدل فوق را برای استفاده از EKF به فضای حالت اضافه کرد و برای همسانسازی اعوجاجات کانال و بازیابی سیگنال پیام استفاده کرد. شرح این کار در [۷۷] به تفضیل بیان شده است. در [۷۷] برای شبیه­سازی­ها از کانال استفاده­شده و با قرار دادن برای سمبل یک و برای سمبل صفر به جای پارامتر دوشاخگی سیگنال Logistic سیگنال ارسالی تولید شده­است. ضریب گسترش است. پارامترها با متوسط­گیری روی نمونه آخر برای هرسمبل به­دست آمده­است. اگر تخمین به­دست آمده نزدیک باشد خروجی دی­مدولاتور یک و در غیر این صورت صفر است. در شکل (۴-۱۱) BER بر حسب SNR دی­مدولاتور مبتنی بر EKF برای این سیستم مدولاسیون دیجیتال ترسیم شده است. در این مدولاسیون بدون امکان همسانسازی به هیچ وجه نمی­ توان اطلاعات بیت را بازیابی کرد.
شکل(۴-۱۱): بازدهی BER برای سیستم مخابرات باینری به ازای SNR با ضریب گسترش [۷۷].
۴-۷- </stron g>جمع­بندی
در این فصل اثرات کانال مخابراتی بیان شد و از میان آن­ها به اثر چندمسیرگی پرداخته شده است. سپس به بیان روش­های مقابله با این اثرات، که در حالت کلی همسانسازی نامیده می­ شود، در سیستم­های مخابراتی آشوبی پرداخته شده­است. ابتدا دو روش مبتنی بر خصوصیات ذاتی سیگنال­های آشوبی، برای همسانسازی سیستم­های مخابراتی آشوبی شرح داده شده و نتایج حاصل از آن­ها بیان شده­است. سپس دو روش دیگر بیان شده که یکی مبتنی همزمانسازی سیگنال آشوبی یا همزمانسازی سیستم آشوبی در فرستنده با سیستم آشوبی مشابه در گیرنده است و دیگری مبتنی بر تخمین با فیلترینگ غیرخطی است. نتایج حاصل از این دو روش نیز ارائه گردید.
فصل پنجم
روش­های نمونه­برداری تصادفی در
همسانسازی و دی­مدولاسیون آشوبی
۵-۱-مقدمه
تخمین آماری پارامتر (یا تابعی از پارامتر) از دو دیدگاه قابل بررسی است. یکی دیدگاه کلاسیک که در آن پارامترها قطعی و نامعلوم فرض می­شوند و دیگری دیدگاه بیزی که در آن پارامتر مجهول، یک متغیر تصادفی در نظر گرفته می­ شود که تحققی از آن مورد نظر است. در حالت اخیر در مورد پارامترها اطلاعات پیشینی به فرم یک تابع توزیع پیشین^[۹۷]در نظر گرفته می­ شود. این تابع توزیع ممکن است حاوی اطلاعات کمی بوده یا اصلا خالی از اطلاعات^[۹۸]باشد (مثل توزیع یکنواخت در کل ناحیه ممکن). با داشتن اطلاعات پیشین و همچنین درستنمایی^[۹۹]داده ­های مشاهده شده می­توان توزیع پسین^[۱۰۰]پارامترها را به صورت زیر بدست آورد:
(۵-۱)
که در آن r بردار مشاهدات، X بردار پارامترها و ، درستنمایی داده ­ها است. تئوری بیز بیان می­ کند که تمامی اطلاعات ممکن در مورد X در موجود است. از این توزیع پسین می­توان در سایر تحلیل­ها استفاده کرد. متاسفانه به دلیل وجود جمله در مخرج رابطه (۵-۱) بدست آوردن تحلیلی توزیع پسین اغلب کار مشکلی است. با توجه به رابطه:
(۵-۲)
برای محاسبه ، بویژه اگر تعداد پارامترها زیاد باشد، یک انتگرال با ابعاد بالا باید محاسبه شود. چون جمله برای تمامی مقادیر X جمله ثابتی است اصطلاحا به آن ثابت نرمالیزاسیون^[۱۰۱]می­گویند. همچنین با توجه به رابطه (۵-۲) به ، درستنمایی کناری^[۱۰۲]هم گفته می­ شود و آن را با m نشان می­دهیم.
هر چند بدست آوردن توزیع پسین کار مشکلی است ولی اگر به طریقی بتوان نمونه­های مستقل X را طبق توزیع پسین تولید کرد می­توان از این نمونه­ها برای تقریب عددی روابط استفاده کرد. بعنوان یک مثال ساده می­توان به تخمین تابعی از X با در دست داشتن مشاهدات، r ، اشاره کرد. می­توان گفت که مقدار مورد انتظار یا میانگین تابع h(X) به فرم زیر بدست می ­آید:
(۵-۳)
پایه تمام روش­های انتگرال گیری مونت کارلو تقریب این انتگرال به صورت زیر است:
(۵-۴)
نمونه­هایی از توزیع هستند. بدین ترتیب با فرض تولید نمونه ازتوزیع پسین می­توان هر تابع دلخواهی از X را تقریب زد. بعنوان مثال اگر فرض کنیم می­توان اقدام به تخمین خود پارامتر نمود.
۵-۲- نمونه برداری اهمیتی^[۱۰۳]
ایده اصلی در این روش تولید نمونه­های وزن دار است. وقتی که تولید نمونه طبق توزیع هدف، ، به راحتّی امکان پذیر نباشد می­توان از یک توزیع دلخواه دیگر مثل نمونه تولیدنموده و رابطه تقریب مونت کارلو را بصورت زیر بازنویسی کرد:
(۵-۵)
به تابع توزیع اهمیت^[۱۰۴]وبه وزن اهمیت^[۱۰۵]گفته می­ شود. روشن است که برای برقراری رابطه (۵-۵) باید شرط زیر برقرار باشد:
(۵-۶)
این روش در [۷۸] برای محاسبه انتگرال­ها بکار گرفته شده است. در حقیقت رابطه (۵-۵) را می­توان به این صورت تعبیر کرد که میانگین تابع روی توزیع محاسبه شده است:
(۵-۷)
دراین رابطه ها نمونه­های تولید شده طبق توزیع هستند. به این روش نمونه برداری اهمیتی، IS ، گفته می­ شود. می­توان نشان داد که هر چه تقریب بهتری از باشد این روش کارآیی بهتری خواهد داشت [۷۹]. شکل (۵-۱) نشان دهنده رابطه و است در این شکل نمونه­های از تولید می­شوند. هرچه به نزدیک­تر باشد یا به عبارت دیگر هرچه به یک نزدیک­تر باشد، توزیع نمونه­های فوق به توزیع شبیه­تر بوده و عملکرد IS بهتر خواهد بود. به عبارت دقیق­تر واریانس نمایانگر کارآیی روش می­باشد [۷۹].
در بسیاری اوقات وزن اهمیت را نمی­ توان مستقیما بدست آورد چون توزیع هدف یعنی در دسترس نیست. در چنین مواردی دانستن توزیع هدف تا حد یک ثابت کافی است. یک مثال از چنین موقعیتی نمونه برداری از توزیع پسین پارامترها در رابطه (۵-۱) است. در این حالت داریم: