(۲-۳۶)

(۲-۳۷)

اگر باشد، با جایگذاری در روابط به دست آمده از معادله ، مقادیر و به قرار زیر خواهند بود:

(۲-۳۸)

این مقادیر به نتایج به دست آمده از شبیه سازی مدل لایه نشانی تصادفی همراه با نرم سازی () بسیار نزدیک است .]۲۲[
شبیه سازی در یک بعد :

(۲-۳۹)

۲-۹-۳ معادله کاردر-پاریزی و ژنگ^[۳۳]
­به ازای d=1 نتایج حاصل از شبیه سازی های عددی به روش لایه نشانی ، با مقادیر به دست آمده از معادلات و متفاوت است. مدل لایه نشانی بر خلاف مدل های و دارای رشدی خطی است. در مدل BD ذرات در حال نشست، به لبه ستون های همسایه می چسبند و موجب رشد جانبی می شوند و اجازه می دهند که رشد در راستای سطح اتفاق بیفتد. این چسبندگی منجر به ایجاد فضای خالی می شود، چنانچه فصل مشترک شیبدار باشد توده حاصل تخلخل بیشتری خواهد داشت و فضاهای خالی آن بیشتر می شود. آرایش این فضاهای خالی باعث افزایش سرعت رشد فصل مشترک می شود، زیرا با وجود برابر بودن تعداد ذرات رسوب یافته، ارتفاع با سرعت بیشتری افزایش می یابد.
ابتدا به سراغ معادله تکراری می رویم که قادر به توصیف مدل باشد. کاردر، پاریزی و ژنگ با افزودن جزء غیر خطی به معادله EW و تعمیم آن، اولین صورت تعمیم یافته معادله EW را پیشنهاد دادند که به معادله KPZ مشهور شد. صورت معادله به شکل زیر می باشد:

(۲-۴۰)

در معادله (۲-۴۰) ضریب پخش است. درمعادله EW تنها در راستای عمود تغییرات داریم، در حالیکه در معادله KPZ ذرات از کنار به همسایه های مجاور خود می چسبند و این به معنای رشد مجانبی خواهد بود.]۱۶ [

شکل ۲-۱۱ : تاثیر عامل بر روی سطح در حال رشد h
جمله اجازه می دهد که نقاط با شیب تندتر و نرخ رشد بیشتر در فرایند رشد شرکت داشته باشند، به این خاطر توده های متخلخلی ایجاد می شوند . ]۲۱[
تفاوتی که معادله با معادله EW دارد، در این است که تقارن بالا به پایین () در معادله KPZ برقرار نیست، زیرا در این حالت یک نیرو به صورت عمود بر فصل مشترک اعمال شده و سبب ایجاد دستوری خاص برای رشد فصل مشترک می شود. معادله KPZ سومین دسته عمومی مجزا از دسته های RD و EW است. BD یک مدل مشخص است که به دسته کلی KPZ تعلق دارد و نماهای رشد، زبری و دینامیکی آن به ترتیب ۳۳/۰ ، ۵/۰ ، ۵/۱ می باشند. که با مقادیر حاصل از معادله KPZ همخوانی دارند.]۱۶[

۲-۱۰ فرایند های دخیل در رشد تجربی سطح
پیش از پرداختن به مطالعه جزئی معادلات رشد ، فرایند های میکروسکوپی مربوط به فصول مشترک را مورد بررسی قرار می دهیم. مورفولوژی فصل مشترک به وسیله اثر متقابل مجموعه عوامل نشست، جذب و انتشار تعیین می شود.
شکل ۲-۱۲ : طرح شماتیکی از فرایند های مقدماتی بر روی سطح
اتم ها به سطح خارجی می رسند و در آنجا مستقر می شوند. (اتم A)
اتم واقع بر سطح می تواند سطح کریستال را ترک کند. (اتم B )
اتم ها در راستاهای تصادفی روی سطح پیشروی می کنند. (اتم C)
۲-۱۰-۱ نشست بر روی سطح
هنگامیکه یک اتم در موقعیتی تصادفی به فصل مشترک برسد و با اتم های سطح پیوند برقرار کند و به آنها بچسبد این فرایند نشست نام دارد( شکل ۲-۱۲ ).]۱۶[
۲-۱۰-۲ جذب شدگی
اثر قابل مقایسه با نشست، جذب شدگی است. همانطور که در شکل (۲-۱۲ ) دیده می شود، ممکن است اتمی که بر روی سطحی قرار دارد، فصل مشترک را ترک کند. احتمال جذب شدن به میزان نیروی چسبندگی اتم به سطح کریستال بستگی دارد. زمانی که یک اتم بر سطحی نشست می کند. پیوندهایی تشکیل می دهد که می بایست پیش از وقوع جذب شدگی، شکسته شوند. برای اندازه گیری زمان ترک یک اتم نشست یافته باید میانگین زمانی که یک اتم برای طی مرحله نشست یافتگی به جذب شدگی احتیاج دارد را محاسبه کرد. در فرایند MBE میزان جذب شدگی بسیار ناچیز است.]۱۶[
۲-۱۰-۳ انتشار بر روی سطح
گاهی به ذرات نشست یافته بر سطح اجازه داده می شود تا در سطح پیشروی کنند (شکل ۲-۱۲). در یکی از دسته های عمومی مدل که به واقعیت نزدیکتر است، به ذرات اجازه داده می شود تا در سطح پیشروی کرده و حالت پایدارتری از انرژی را انتخاب کنند.]۱۶[