نمودار مربوط به ستون میانگین در نشان داده شده است.
شکل ‏۴‑۸: نمودار تاثیر حجم قطعات تصاویر بر زمان پردازش

• • تحلیل:

در این آزمایش در حالتی که حجم هر تصویر KB512 است زمان پردازش بالاترین مقدار است. به مراتب که حجم تصاویر افزایش می یابد زمان پردازش کاهش یافته و در حالتی که حجم تصاویر، MB6 است، زمان پردازش به کمترین اندازه خود می رسد. در ادامه با افزایش حجم تصاویر، زمان پردازش نیز افزایش می‌یابد.
همانطور که مشاهده می‌شود این پارامتر تاثیر بسیاری بر سرعت پردازش داشته و انتخاب صحیح این مقدار می‌تواند زمان پردازش را به شدت کاهش دهد. با توجه به شرایطی که تست‌ها در آن بررسی شده‌است، بهترین زمان پردازش در این شرایط، مربوط به حالتی است که تصاویر بزرگ، به قطعات ۶ مگابایتی تقسیم شوند. زمان پردازش در این حالت تقریبا یک هشتم حالتی است که حجم هر تصویر KB512 است.
نتایج فوق نشان می دهد با افزایش حجم قطعات، زمان پردازش تقریبا بصورت یک سهمی (معادله درجه دو) دارای مینیمم تغییر می‌کند. بنابراین افزایش یا کاهش غیرمنطقی حجم قطعات، زمان پردازش را افزایش خواهد داد . لذا برای افزایش سرعت پردازش باید حجم قطعات را طوری انتخاب کرد تا زمان پردازش تا حد امکان نزدیک به مینیمم نمودار باشد.

سناریو چهارم: بررسی تاثیر تعداد Map Task های همزمان بر زمان پردازش

• • شرح سناریو:

در بررسی این پارامتر از کلاستری متشکل از هفت ماشین مجازی که مشخصات آن در نشان داده شده است استفاده می کنیم. همچنین تصاویر مورد بررسی همگی دارای حجم MB6^[99] بوده و مجموعا GB50 حجم دارند.
برای بررسی این پارامتر، ما برنامه را چندین بار و با تعداد مختلفی از Map Taskهایی که بصورت همزمان در هر ماشین اجرا می شوند اجرا و نتایج را بررسی می‌کنیم. با توجه به اینکه در این پژوهش هر یک از تصاویر در قالب یک Map Task پردازش می شود لذا با تغییر تعداد Map Taskهایی که بطور همزمان در یک ماشین اجرا می شوند، می‌توان بطور مستقیم، تعداد تصاویری که همزمان پردازش می‌شوند را تعیین کرد. هدف بررسی این پارامتر، یافتن نحوه تاثیر این پارامتر بر زمان پردازش و یافتن تعداد مناسبی از Map Task ها است بطوری که کارایی را افزایش و زمان پردازش را کاهش دهد.

• • مشاهدات:

در بررسی این پارامتر ابتدا یک Map Task برای هر ماشین درنظر گرفته شد. سپس در هر مرحله یک Map Task دیگر به ماشین افزودیم تا در مرحله آخر به هر ماشین شش Map Task تعلق گرفت. نتایج این روش در و در نشان داده شده است.
جدول ‏۴‑۸: نتیجه تاثیر تعداد Map Taskها بر زمان پردازش در روش دوم

این است که برحسب آمارهایی که در کشورهای اروپایی تهیه شده، نسبت عدم تعادل روحی و روانی در میان اطفال بزهکار بیش از سایرین است از میان مؤلفین و صاحب‌نظران این رشته دکتر هویر^[۱۴] معتقد است که عامل هوش و ذکاوت در بزهکاری اطفال نقش خاصی به عهده دارد ولی این نقش همیشه یکسان نیست بلکه گاهی مثبت و گاهی منفی است.
در مقابل این عقیده مؤلفی به نام «فوستن هلی» معتقد است که هیچ رابطه‌ای میان عدم تعادل روانی و بزهکاری اطفال وجود ندارد که این از دید پژوهشگر قابل قبول نمی‌باشد و در هر صورت این امور تأثیرگذار است. زیرا گاهی اوقات مشاهده شده است که اطفال باهوش بیش از اطفال کم‌هوش، بعضی از جرائم را مرتکب می‌شوند و حال‌آنکه در پاره‌ای از جرائم دیگر سهم اطفال کم‌هوش و نامتعادل زیادتر است.^[۱۵]
اکثر محققین و صاحب‌نظران این رشته، در مورد ناهماهنگی‌ها و عدم ثبات اخلاقی کودکان و نوجوانان بزهکار، بر این عقیده‌اند که این عامل گر چه ممکن است مستقیماً و صد درصد در ارتکاب جرم از ناحیه آن تأثیر نداشته باشد، ولی در بعضی از جرائم و تحت شرایط خاصی اهمیت عامل مذکور را نمی‌توان نادیده گرفت؛ به‌طوری‌که آمارها نشان می‌دهند، در اغلب مجرمین صغیر عدم تعادل اخلاقی یا وجود صفت ناپسند نظیر خشم، بدزبانی، وقاحت، سرکشی و عصیان دیده شده است.
بدیهی است عدم تعادل روحی و عدم ثبات اخلاقی، موجب می‌شود که شخص به آسانی تحت تأثیر عوامل مخرب و منحرف‌کننده قرار گرفته و به‌سوی ارتکاب جرم سوق داده شود. ولی با این همه ما معتقدیم یک تربیت صحیح و توأم با مراقبت و دلسوزی، می‌تواند اطفال را از سقوط به ورطه انحراف و ارتکاب جرم محافظت نماید، زیرا در جرم‌شناسی ثابت شده است که تربیت صحیح، ایمان محکم و اعتقادات مذهبی کامل بازدارنده از جرم است.

بند دوم: عوامل اجتماعی بزهکاری

به عقیده جامعه‌شناسان انسان از هنگام تولد در شبکه‌ای از روابط متقابل اجتماعی قرار می‌گیرد و از میان کنش‌های متقابلی که با دیگران دارد، میراث جامعه را با خود جذب کرده، هیئتی اجتماعی می‌یابد و در تمامی مدت حیات خود، در این شبکه روابط متقابل، به فراخور دگرگونی این روابط، دگرگون می‌شود و همواره از جامعه سرمشق می‌پذیرد، به‌طوری‌که بدون تأثیر محیط بیرونی، تأمین نیازمندی‌های مادی و معنوی برای انسان امکان‌پذیر نیست.

آنچه موجب می‌شود انسان شبکه گسترده روابط اجتماعی را بپذیرد، نیازهای وی برای بهتر زیستن است و کوشش‌های گروهی و جمعی برای به خدمت گرفتن پدیده‌های طبیعی در راستای منافع خود است.
عوامل اجتماعی، خود دربردارنده عوامل اقتصادی، سیاسی و تربیتی است که هر یک از این عوامل نیز به نوبه خود عوامل دیگری را در برمی‌گیرد.
عامل اقتصادی خود دربردارنده عوامل فقر (بیکاری، محرومیت، نداشتن تفریح سالم و…)، بحران اقتصادی (تورم، گرسنگی و درماندگی و…) و عوامل مهاجرت (آوارگی، تعارض فرهنگ و…) نمود عامل سیاسی و فشار اجتماعی شدید است.
عوامل تربیتی عبارت‌اند از: خانواده (محدودیت اقتصادی، خشونت، ناسازگاری‌های داخلی، ازهم‌گسیختگی خانواده، دور افتادن اعضای خانواده از یکدیگر، طلاق، یتیمی و…)، مدرسه (فشار به افراد، نادیده گرفتن نیازهای آموزندگان، تحمیل ارزش‌های غیراجتماعی و غیردینی و…) گروه‌های همسالان (تقلید از همبازی‌ها، همسایگان، هم‌محله‌ای‌ها و…)، رسانه‌های گروهی (تبلیغ، تلقین، ترویج، تفکرات نامناسب و…) و چون این‌ها که می‌توان آن‌ها را جزء عوامل اجتماعی در بزهکاری اطفال و نوجوانان دانست. در ادامه به بحث و بررسی موضوعات مطرح‌شده خواهیم پرداخت. ^[۱۶]

مبحث دوم: اطفال و نوجوانان

تعریف طفل و همچنین بزهکاری از مواردی است که از اهمیت خاصی برخوردار است، زیرا تعاریف در این زمینه موجب تعیین حدود و سقور این مفاهیم گردیده، و بر این اساس، برای ورود به بحث ضروری است. بنابراین تعریف لغوی و حقوقی اطفال و نوجوانان را در حقوق ایران و اسناد بین‌المللی در گفتار اول و دوم از مبحث حاضر بررسی می‌کنیم.

گفتار اول: تعریف لغوی اطفال و نوجوانان

ابتدا به تعریف طفل می‌پردازیم. طفل در فرهنگ لغات فارسی تحت عنوان کوچک از هر چیز، کودک، بچه، نوزاد، بچه کوچک انسان، طفلی جمع اطفال، کودکی، خردسال، است. ^[۱۷]
و در ترمینولوژی حقوق طفل را به معنای صغیر بیان نموده است. ^[۱۸]
طفل در لغت به معنای خرد و کوچک و در مورد انسان به کم‌سالی و خردسالی تعبیر شده است. بنابراین صغیر نقطه مقابل کبیر و به معنای کودک است. ^[۱۹]
در خصوص نوجوان در لغت‌نامه دهخدا آمده است: پسر مردی که هنوز خطش ندمیده باشد.
در تعاریفی که از نوجوان به عمل آمده است گذر از کودکی به بزرگ‌سالی با تغییر در شرایط جسمی و روانی مشهود است. دائره‌المعارف بریتانیکا، نوجوانی را به‌عنوان دوره‌ای بین کودکی و بزرگ‌سالی تعریف کرده است.

گفتار دوم: تعریف حقوقی اطفال و نوجوانان

طفل یا صغیر در اصطلاح حقوقی به کسی گفته می‌شود که از نظر سن به نمو جسمی و روحی لازم برای زندگی اجتماعی نرسیده باشد. ^[۲۰]
در اصطلاح حقوقی کودک یا صغیر، به کسی اطلاق می‌شود که به سن بلوغ نرسیده و کبیر نشده است. با این توضیح که در قوانین مدنی کلمه کودک مترادف با صغیر و طفل به‌کاررفته است و صغیر کسی است که بالغ و رشید نشده باشد. ^[۲۱]
در ادبیات حقوقی کشورهای مختلف دنیا برای مصداق فرد انسانی از لحظه آغاز حیات تا قبل از بزرگ‌سالی واژه‌های متعددی را بکار می‌برند. این اصطلاحات عبارت‌اند از جنین، نوزاد، کودک، طفل، خردسال، طفل غیر ممیز، طفل ممیز نابالغ، طفل غیر بالغ، جوان و نوجوان و… . ^[۲۲]
که هر یک از آن‌ها ضمن اینکه قلمرو مشترکی دارند، اما درعین‌حال مفاهیم مستقل و مراحل خاصی از مسیر تکامل فرد انسانی را ترسیم می‌نمایند.
درهرحال مفهوم کودک و معیارهای قانونی برای تعیین آن ازجمله موضوعاتی است که ازنظر حقوقی و حتی از جهت فرهنگی با اختلاف دیدگاه‌های قابل‌توجهی همراه است. البته به نظر می‌رسد که بسیاری از تفاوت‌های ناشی از سطحی‌نگری نسبت به حقوق اطفال بوده و هنوز در بسیاری از کشورها به‌صورت صحیح و علمی و واقع‌بینانه به مسائل مربوط به حقوق کیفری اطفال نپرداخته‌اند.
بر همین اساس «پیمان‌نامه حقوق کودک» به‌عنوان مهم‌ترین سند بین‌المللی راجع به حقوق کودک نیز تعیین سن قانونی برای تشخیص سن مسئولیت کیفری را به عهده کشورهای عضو قرار داده و از بیان آمرانه آن خودداری نموده است.
به‌طورکلی ازنظر حقوقی کودک کسی است که به رشد و نمو جسمی و روحی برای زندگی اجتماعی نرسیده است.^[۲۳]
در زبان حقوقی اصطلاح اطفال متداول است. اطفال جمع «طفل» و طفل به معنی کودک است که با کلمه «خردسال» و «صغیر» مترادف است. طفل یا کودک یا خردسال یا صغیر در عرف به انسانی که تازه از مادر زاده شود نیز گفته می‌شود. گاهی این کلمات (طفل، کودک، خردسال، صغیر) با کلمه «نابالغ» هم بکار می‌رود. چنانکه در مقررات قانون مجازات اسلامی و آیین دادرسی کیفری، طفل را کسی می‌داند که به حد بلوغ شرعی، نرسیده باشد.

بند اول: تعریف اطفال و نوجوانان در حقوق ایران

در نظام حقوقی ایران، مانند اکثریت یا شاید کلیه نظام‌های حقوقی دیگر دنیا تعریفی از کودک ارائه ننموده و فقط به همین میزان سن مسئولیت کیفری پرداخته است. برخلاف نظام‌های داخلی حقوقی، «پیمان‌نامه حقوق کودک» به‌عنوان یک سند بین‌المللی که در تاریخ ۱۹۸۹ به تصویب مجمع عمومی رسید و اکثریت کشورها ازجمله ایران در اسفند ۱۳۷۲ آن را امضا و تصویب نموده‌اند، تعریفی از کودک ارائه می‌دهد. ماده یک این کنوانسیون مقرر می‌دارد: «ازنظر پیمان‌نامه کنونی، منظور از کودک هر انسان دارای کمتر از ۱۸ سال سن است، مگر اینکه طبق قانون قابل‌اعمال در مورد یک کودک، سن قانونی کمتر تعیین شده باشد».
مطابق این ماده، کودک به فردی اطلاق می‌گردد که بر اساس معیار سنی که بر اساس تاریخ تولد تعیین می‌شود کمتر از ۱۸ سال داشته باشد. دو نتیجه از تعریف ارائه شده گرفته می‌شود، یکی اینکه بر اساس قسمت اخیر ماده، شرط سنی تعیین شده منوط به این است که در قانون داخلی کشورها سن کمتری تعیین نشده باشد، که در فرض اخیر همان قانون داخلی ملاک خواهد بود. و دیگر اینکه این تعریف فقط ناظر به بعد از تولد است و دوران جنینی را در برنمی‌گیرد.
این نکته که آیا جنین نیز باید تحت عنوان کودک شناخته شود یا خیر، محل جدال بسیاری از حقوق‌دانان و همچنین کشورها در مصوب «پیمان‌نامه حقوق کودک» بوده است. بر اساس همین اختلاف‌نظر به‌ظاهر ساده، ایالات‌متحده آمریکا تاکنون علی‌رغم امضای این کنوانسیون حقوق کودک، از تصویب آن خودداری ورزیده است. زیرا ازنظر ایالات‌متحده، جنین اگر به‌عنوان کودکی که موردحفاظت کنوانسیون حقوق کودک قرار دارد، می‌بایست در تعریف کنوانسیون کودک گنجانده می‌شد. ^[۲۴]
در خصوص تعیین حد سنی کودکان، نظام حقوقی ایران رویه یکسانی را در پیش نگرفته و قوانین گوناگون معیارهای سنی متفاوتی را ارائه کرده است. مهم‌ترین حکم قانونی ایران، طی تبصره یک ماده ۱۲۱۰ با اصلاحیه سال ۱۳۶۱ به تصویب رسیده است که مقرر می‌دارد: «سن بلوغ در پسر ۱۵ سال قمری و در دختر نه سال تمام قمری است». مطابق این ماده پایان دوره کودکی در دختران نه سال و در پسران ۱۵ سال است. زیرا همین سن می‌تواند ملاک نکاح و خروج از دوره کودکی گردد.
نتیجه‌گیری که این ماده به همراه دارد، تفاوت دوران کودکی دختران از پسران است که شش سال زودتر به پایان می‌رسد. البته، مطابق تبصره ۲ ماده ۱۲۱۰ قانون مدنی، رشد اقتصادی اطفال بعد از بلوغ تا سن ۱۸ سالگی نیاز به اثبات در دادگاه دارد.
نتیجه حقوقی تبصره ۲ ماده ۱۲۱۰ قانون مدنی این است که آثار دوره کودکی در امور اقتصادی تا پایان ۱۸ سال ادامه دارد و اینکه بلوغ جنسی و بلوغ اقتصادی (رشد) دارای دو حکم متفاوت هستند.
دوران نوجوانی عدد سنی ۱۲ تا ۱۸ سالگی را در برگرفته و مرحله‌ی انتقال از دوران طفولیت به دوره نوجوانی محسوب می‌گردد. ^[۲۵]
تعیین سن کودکی در حوزه‌ی حقوق خانواده یکی از موضوعاتی است که بر حمایت از کودکان به‌عنوان تکلیف والدین، اولیای قانونی و سرپرستان و دولت تأثیر بسزایی دارد. باوجود پیش‌بینی نهادها و تأسیس‌های مختلف حقوقی نظیر حضانت، ولایت، قیمومیت و وصایت برای حمایت از اطفال و کاربرد فراوان این کلمه، قانون مدنی تعریف صریح و شفافی از طفل ارائه نداده است. ^[۲۶]
در قوانین متفرقه ایران، مصادیق مختلفی از طفل تبیین شده، بر اساس ماده ۷۹ قانون کار مصوب ۱۳۴۹، پایان دوره کودکی در دختر و پسر یکسان ۱۵ سال تعیین شده است.
قانون‌گذار ایران مطابق ماده ۱۴ قانون استخدام کشوری، سن استخدام را حداقل ۱۸ سال تعیین کرده و برای هر دو جنس پسر و دختر یکسان در نظر گرفته شده است. بنابراین بر مبنای قانون اخیرالذکر، سن خروج از دوره کودکی ۱۸ سال تعیین شده است.
در بسیاری از دادگاه‌ها شکایت افراد زیر ۱۸ سال به دلیل اینکه به سن رشد نرسیده‌اند پذیرفته نمی‌شود. امکان دخل و تصرف در اموال این گروه به آن‌ها داده نمی‌شود. ^[۲۷]
مطالعه‌ی قوانین متعدد در ارتباط با کودک، مؤید آن است که هیچ تعریف مشخصی از کودک در نظام حقوقی ایران وجود ندارد.

بند دوم: تعریف اطفال و نوجوانان در اسناد بین‌المللی

اسناد بین‌المللی متعددی به بررسی و جهت‌دهی به حقوق کودکان پرداخته است. ازجمله آن‌ها، اعلامیه جهانی حقوق کودک ژنو به سال ۱۹۲۴، اعلامیه جهانی حقوق کودک مجمع عمومی سازمان ملل ۱۹۵۹ و نهایتاً مهم‌ترین سند بین‌المللی که مصوب مجمع عمومی سازمان ملل متحد به سال ۱۹۸۹ می‌باشد «پیمان‌نامه حقوق کودک» است. این پیمان‌نامه که به امضا و تصویب اکثر ملل عضو درآمده و به همین جهت جنبه الزام‌آور پیداکرده است. مهم‌ترین سند و منبع در تدوین چهارچوب‌های سیاست اجتماعی و کیفری کشورهای عضو در تدوین حقوق کیفری کودکان محسوب می‌گردد. از نظر کنوانسیون حقوق کودک، منظور از طفل فرد زیر ۱۸ سال است، مگر اینکه سن بلوغ طبق قانون داخلی هر کشور کمتر تعیین شده باشد. ^[۲۸]
بنابراین طبق این معاهده تشخیص اینکه طفل کیست نسبتاً به قوانین داخلی هر کشوری متفاوت است.
باید توجه داشت، در بعضی کشورها، طفل شخصی است که از نظر سن پایین‌تر از معیار مشخص شده در معاهده حقوق کودک است و این مسئله خود، موجب نادیده گرفتن حقوق طفل خواهد شد.
در جایی دیگر آمده است: «هر شخص زیر ۱۸ سال نوجوان نامیده می‌شود.»^[۲۹]
باید توجه نمود، ماده (۱) معاهده حقوق کودک سن طفل را به‌طورکلی بیان نموده و در این زمینه بین وضعیت حقوقی و کیفری اطفال اشاره می‌کند، سن ۱۸ سال را ملاک می‌داند و این مورد را به قوانین داخلی و ملی منوط نمی‌نمایند.
بند (الف) ماده ۳۷ معاهده حقوق کودک تصریح می کند که برای اطفال زیر ۱۸ سال نباید مجازات سنگین (مثل اعدام) در نظر گرفت و همچنین مجازت حبس ابد بدون امکان بخشودگی و عفو در این مورد را ممنوع اعلام می‌دارد که خود مثبت این ادعاست. با توجه به این موارد درمی‌یابیم که مقررات اسناد ملل متحد (اسناد لازم‌الاجرا و اسناد ارشادی) که برای اطفال بزهکار در نظر گرفته شده، مربوط به افراد زیر ۱۸ سال است. البته در این اسناد گاهی اصطلاح طفل، گاه اصطلاح نوجوان و در برخی از موارد جوان به کار برده شده است. از میان این عناوین فرد جوان در اسناد مذکور تعریف نشده، ولی مفهوم طفل و نوجوان به‌طور کامل تبیین گردیده است.
هرچند که در تعریف فرد نوجوان به این مورد اشاره شده که نوجوان اعم است از کودک و جوان، ممکن است منظور نویسندگان این قواعد از به کار بردن لفظ جوان، اطفال بزرگ‌سال باشد، زیرا به‌طورکلی می‌توانیم اطفال را به دو دسته کم‌سال و بزرگ‌سال تقسیم کنیم، که به هر حال طفل بزرگ‌سال می‌تواند دربرگیرنده نوجوان و جوان نیز باشد.
باید خاطر نشان کرد که حدود و ثغور سن طفل، با در نظر گرفتن نظام‌های حقوقی خاص تعیین می‌گردد. این مورد به صراحت در اسناد سازمان ملل متحد، به‌ویژه ماده ۱ معاهده حقوق کودک نیز ذکر گردیده و بدین ترتیب احترام به نظام‌های اقتصادی، اجتماعی، سیاسی، فرهنگی و حقوقی کشورهای عضو کاملاً رعایت شده است. این امر موجب می‌شود که در تعریف نوجوان به‌طور کامل تنوع سنی وسیعی از ۷ تا ۱۸ سال یا بالاتر پیش آید. چنین تنوعی به لحاظ وجود نظام‌های مختلف قضایی ملی، اجتناب ناپذیر به نظر می‌رسد و از تأثیر این مقررات مربوط به اطفال بزهکار نمی‌کاهد. ^[۳۰]
این اختیار در تعیین سن کودکان اگرچه به منظور اعتبار بخشیدن به حقوق داخلی کشورهاست، اما آزادی عمل در تقلیل سن کودکان و با تعیین معیار سنی مسئولیت کیفری بدون هیچ‌گونه محدودیتی می‌تواند موجب نادیده گرفتن حقوق اطفال گردد.
مهم‌ترین اسنادی که بعد از جنگ جهانی دوم به حقوق کودکان و نوجوانان توجه داشته و در خلال آن‌ها فکر جلوگیری از تجاوز به حقوق، حفظ و حمایت کلی از حقوق آن‌ها و پیشگیری از ارتکاب جرم یا تکرار جرم و اصلاح و تربیت اطفال و نوجوانان به وضوح پیداست عبارت‌اند از:

شکل(۱-۴)- لیگاند ۳،^׳۳،^״۳-تری آمینو تری پروپیل آمین

شکل(۱-۵)- لیگاند ۲،^׳۳،^״۴-تری آمینو اتیل پروپیل آمین بوتیل آمین
۱-۴- خواص فیزیکی آمین­ها
آمین­ها ترکیبات قطبی با نقاط جوش بالاتری از ترکیبات غیرقطبی با وزن مولکولی مشابه هستند. آمین­های آروماتیک معمولاً سمی هستند و به سهولت از طریق پوست جذب شده و غالباً نتایج مهلکی به بار می­آورند. بیشتر آمین­ها به صورت خالص بی­رنگ هستند ولی غالباً همراه با محصولات اکسایشی، رنگی به نظر میرسند [۳].
۱-۵- سیستم­های بزرگ حلقه و بزرگ باز حلقه باز شیف
به دلیل نقش مهم ترکیبات حلقوی و غیر حلقوی در زمینه ­های مختلف از جمله بیوشیمی معدنی، تجزیه، برهمکنش­های فلز- فلز و غیره، این دسته از ترکیبات توجه زیادی را به خود معطوف داشته اند [۴]. سنتز و شناسایی کمپلکس­های فلزی با لیگاندهای بزرگ حلقه هدف بسیاری از محققان در سال­های اخیر بوده است. علت بسیاری از این مطالعات، غالباً مربوط به بررسی جنبه­ های الکتروشیمی، ساختاری، سینتیکی و ترمودینامیکی کمپلکس بزرگ حلقه می­باشد [۵]. بزرگ حلقه به یک مولکول حلقوی اطلاق می­ شود که حداقل نه اتم داشته باشد که از این نه اتم، حداقل سه اتم آن دهنده الکترونی محسوب شوند. تحقیق و بررسی درباره ترکیبات بزرگ حلقه به اواخر دهه­­۱۹۶۰ و اوایل دهه­­۱۹۷۰ برمی­گردد.
دلیل اهمیت بزرگ حلقه­ها، پایداری ترمودینامیکی آن­ها می­باشد.کمپلکس­های لیگاندهای بزرگ حلقه به دلیل پایداری بسیار زیادشان به عنوان مدل ساختاری برای متالوپروتئین­ها و متالوآنزیم­ها به کار می­روند [۶]. همچنین از پیوند لیگاندهای بزرگ حلقه با فلزات رادیواکتیو در شیمی درمانی استفاده می­ شود [۷]. مشخص گردیده که بزرگ حلقه­های باز شیف می­توانند با آنیون­های مختلف به طور انتخابی واکنش دهند که عواملی از جمله: اندازه حفره، ماهیت اتم­های دهنده لیگاند، استخلاف­های روی لیگاند، تعداد و اندازه­ حلقه­های کی­لیت و انعطاف پذیری لیگاند فاکتورهای مهمی در واکنش محسوب می­شوند [۸].

همچنین لیگاندهای بزرگ حلقه می­توانند کمپلکس­های دو یا چند هسته­ای تشکیل دهند، هنگامی که در ساختار کمپلکس، دو یا چند فلز در مجاورت با یکدیگر قرار داشته باشند این کمپلکس­ها خواص مغناطیسی غیر معمول و فعالیت کاتالیزوری از خودشان نشان می­ دهند [۹]. بررسی شیمی این لیگاندها تنها یک پدیده آزمایشگاهی نمی ­باشد و پیشرفت در زمینه سنتز این ترکیبات سبب افزایش آگاهی در مورد نحوه عملکرد و خواص بزرگ حلقه­های زیستی می­ شود [۱۰]. سنتز سیستم­های غیر حلقوی، بسیار ساده تر از سیستم­های حلقوی می­باشد و در حقیقت تحت شرایط آزمایشگاهی مناسب می­توان لیگاندهای موردنظر را با بازده بالا و خلوص مناسب از محلول واکنش به دست آورد، در این سیستم­ها حضور محصولات جانبی از قبیل: اولیگومرها و پلی­مرها به مقدار قابل توجهی کم می­باشد، اما سنتز بازهای شیف حلقوی اغلب مشکل است، به ویژه با ترکیباتی که دارای دو یا چند گروه عاملی می­باشند زیرا باعث می­ شود محصولات جانبی تولید شود که در این صورت عمل خالص سازی بزرگ حلقه باعث می­ شود بازده محصول کم شود [۱۱]. کمپلکس­های لیگاند بزرگ حلقه باز شیف نقش مهمی در توسعه شیمی کئوردیناسیون ایفا می­ کنند. همچنین در دهه­های اخیر کاربردهایی درباره بازهای شیف بزرگ حلقه گزارش شده است [۱۳-۱۲].
نخستین لیگاند بزرگ حلقه حاوی پیوند ایمینی توسط کورتیس^[۳] سنتز شده است شکل (۱-۶) [۱۴].

شکل(۱-۶)- ساختار لیگاند بزرگ حلقه حاوی پیوند ایمینی سنتز شده توسط کورتیس
در زیر نمونه­هایی از لیگاندهای بزرگ حلقه و بزرگ باز حلقه باز شیف نشان داده شده است شکل (۱-۷) و شکل (۱-۸).

شکل (۱-۷)- ساختار نمونه­هایی از لیگاندهای بزرگ حلقه باز شیف

شکل (۱-۸)- ساختار نمونه­هایی از لیگاندهای بزرگ باز حلقه باز شیف
۱-۶- معرفی لیگاندهای باز شیف
بازهای شیف، حاصل تراکم آلدهیدها یا کتون­ها با آمین­های نوع اول هستند و دارای اهمیت قابل توجهی در شیمی آلی می­باشند و به خاطر اتصال آسان نیتروژن آن­ها به فلزات واسطه معمولا به عنوان لیگاند بکار می­روند، که این ترکیب­ها به عنوان ایمین شناخته شده ­اند. از آن جهت این ترکیبات باز شیف نامیده می­شوند که اولین مطالعات بر روی آن­ها توسط هوگوشیف^[۴] صورت گرفت [۱۵]. بازهای شیف ترکیب­هایی هستند که شکل کلی آن­ها به صورت شکل (۱-۹) است و مانند آلدهیدها و کتون­ها قسمت NR₂ با اتم کربن پیوند دوگانه دارد.

شکل (۱-۹)- ساختار کلی ترکیبات باز شیف
این ترکیب­ها دارای گروه آزومتین (-RC=N-) هستند شکل (۱-۱۰). چنانچه ایمین مربوطه از واکنش یک آلدهید با آمین نوع اول و آمونیاک بوجود آمده باشد آن را آلدیمین^[۵] و اگر ایمین مربوطه از واکنش یک کتون با آمین نوع اول و آمونیاک تولید شده باشد آن را کتیمین^[۶] می­نامند شکل (۱-۱۱) وشکل (۱-۱۲) [۱۶].

شکل (۱-۱۰)- گروه آزومتین

شکل (۱-۱۲)- کتیمین شکل (۱-۱۱)- آلدیمین
واکنش تهیه باز­های شیف، برگشت پذیر و دو مرحله­ ای است شکل (۱-۱۳) ، که مرحله­ اول از طریق یک حدواسط کربینول آمین پیش می­رود و مرحله دوم شامل آب­زدایی آن می­باشد. هر دو مرحله­ واکنش با اسید کاتالیز می­شوند همچنین مرحله دوم را می­توان از طریق بازهای معمولی کاتالیز نمود، در صورت عدم وجود اسید و بازهای معمولی، مولکول­های آب هر دو نقش را ایفا می­ کنند.

شکل (۱-۱۳)- مکانیسم تهیه بازهای شیف
بازهای شیف از آمین­های آروماتیک و ترکیب­های کربونیل دار با واکنش افزایش هسته دوستی نیز سنتز می­شوند شکل (۱-۱۴) [۱۷].
شکل (۱-۱۴)- نمونه ­ای از بازهای شیف آروماتیک سنتز شده از طریق واکنش افزایش هسته­دوستی
نیتروژن این دسته از ترکیب­ها توسط زوج الکترون آزاد خود توانایی پیوند به اتم فلزی رادارد. اگر تعداد این گروه­هایی که دارای زوج الکترون هستند بیشتر شود، تبدیل به یک لیگاند چند دندانه حلقوی می­شوند شکل (۱-۱۵).

شکل (۱-۱۵)- نمونه­هایی از لیگاندهای چند دندانه حلقوی
این لیگاندهای چند دندانه­ی حلقوی قادرند فلزها را در حالت­های اکسایش متفاوت پایدار کنند. اگر بازهای شیف دارای گروه ­های عاملی مناسب مانند (-NH یا -OH) در نزدیکی گروه آزومتین باشند، به عنوان لیگاندهای کی­لیت مورد استفاده قرار می­گیرند،که این مولکول­ها می
توانند اتم­های دهنده نیتروژن، گوگرد و اکسیژن را در ساختار خود داشته باشند [۱۸].
۱-۷- تاریخچه سنتز بازهای شیف
بیش از یک قرن است که از انتشار اولین گزارش در مورد بازهای شیف می­گذرد [۱۹]. برای اولین بار هوگوشیف با مطالعه واکنش آنیلین­ها با آلدهیدهای مختلف در سال ۱۸۶۴ میلادی به وجود ایمین­ها پی برد و اولین مقاله او در زمینه بازهای شیف با عنوان “سری جدید بازهای آلی” به چاپ رسید [۲۰]. نخستین کمپلکس باز شیف در سال ۱۸۴۰ توسط یورگنسن^[۷]، ورنر^[۸] و اتلینگ^[۹] ساخته شد. این ترکیب بیس (سالیسیل آلدیمینو) مس(II) با رنگ سبز تیره مایل به مشکی بود که از واکنش مس(II) استات با سالیسیل آلدهید و آمین تهیه شد شکل (۱-۱۶).

شکل (۱-۱۶)- ترکیب بیس (سالیسیل آلدیمینو) مس (II)
مشتق­های R= Ar, Phدرشکل (۱-۱۶)، در سال ۱۸۶۹ توسط شیف جداسازی شدند. در این کار، شیف روش سنتزی مهم تهیه­ کمپلکس­های سالیسل آلدیمین از واکنش کمپلکس­های فلزی سالیسیل آلدهید با آمین­های نوع اول را ارائه داد [۲۱]. دلپین^[۱۰] در سال ۱۸۹۹، مشتق­های بنزیل ومتیلR= را از واکنش فلز استات، سالیسیل آلدهید و آمین نوع اول در الکل به عنوان حلال، سنتز کرد [۲۲]. فیفر^[۱۱] و همکارانش مطالعه­ سیستماتیک کمپلکس­های باز شیف را در دهه
۱۹۴۰-۱۹۳۰ مورد بررسی و نقش یون فلزی را مورد توجه قرار دادند [۲۳].
بنابراین اهمیت یون فلزی در سنتز این گونه ترکیبات مورد توجه قرار گرفت و منجر به جمع
­آوری اطلاعات کیفی در این زمینه شد. در طی دهه­های گذشته چندین کتاب و مقاله درباره بازهای شیف و کمپلکس­های آن­ها منتشر شده که نشان دهنده اهمیت زیاد این ترکیبات است [۲۵-۲۴].
در دو دهه­ گذشته کارهای زیادی در زمینه­ سنتز و شناسایی کمپلکس­های باز شیف در ایران صورت گرفته است [۲۶].
۱-۸- اهمیت و کاربرد بازهای شیف
بازهای شیف از جمله ترکیبات مهم در شیمی هستند. انواع ترکیب­های نسبتا پایدار بازهای شیف، ازفلزات واسطه سنتز شده و مورد بررسی قرار گرفته­اند. ویژگی­هایی چون تنوع ساختار، تنوع خواص مغناطیسی و طیفی و همچنین تغییر یون فلز مرکزی، آن­ها را برای مطالعات مختلف از جمله حسگرهای نوری، کاربرد به عنوان حساس کننده­ها در فتودینامیک تراپی و تشخیص زیست­پزشکی و نوکلئازهای مصنوعی برای شکافت آبکافتی یا تبادل استری شدن از اسکلت دی
استرفسفات DNA و RNA مناسب می­سازد.
مسیر مناسب تهیه و پایداری گرمایی لیگاندهای باز شیف سهم مهمی را برای کاربردشان در کمپلکس­های فلزی به عنوان کاتالیزور دارد [۲۷]. لیگاندهای ترکیبات باز شیف کاربردهای فراوانی در زمینه ­های مختلفی از علوم دارند. هر ساله گزارش­های زیادی درباره استفاده از بازهای شیف در واکنش­های شیمیایی، در صنایع الکترونیک، همچنین به عنوان رنگ­های خوراکی و دارو و صدها کاربرد دیگر ارائه می­ شود [۲۹-۲۸]. احتمالا می­توان گفت توجه ویژه، به بازهای شیف از هنگامی آغاز شده است که ویژگی­های مهم متالوپورفیرین­ها مانند جذب برگشت پذیر اکسیژن و خاصیت کاتالیزوری، در بازهای شیف به اثبات رسیده است [۳۱-۳۰]. در زیر برخی از کاربردهای جدید از بازهای شیف ارائه شده است.
۱-۸-۱- کاربرد بازهای شیف در داروسازی
خواص ضد ویروسی، ضد باکتریایی و ضد سرطانی بازهای شیف موجب گسترش کاربرد آن
­ها در داروسازی شده است. ۳و۴-دی آمینو پیریدین از مجموعه داروهای گروه آمین است.که دارای فرمول شیمیایی C₅H₇N₃ و جرم مولکولی ۱۳/۱۰۹ می­باشد شکل(۱-۱۷).
این دارو در درمان نشانگان “لامبرت- ایتون” به کار برده می­ شود، از دیگر کاربردهای آن می
­توان به تاثیر در درمان خود ایمنی چندگانه"مالتیپل اسکلروزیس^[۱۲]” اشاره نمود.
این دارو همچنین در شیمی آلی فلزی به عنوان باز شیف کی­لیت کننده دو دندانه به کار می

موجود بودن انرژی جنبشی ممکن است موجب شود که انشعاب ترک در سرعتی کمتر از رخ دهد. این مطلب در شکل ( ۲ – ۱۳– ب ) نشان داده شده است. وقتی که ترک به اندازه رشد کرد انرژی جنبشی کل در دسترس به وسیله سطح MNP در شکل ( ۲ – ۱۳ – ب ) نشان داده می شود. انرژی جنبشی می تواند برای گسترش ترک مصرف شود. فرض کنید که انشعاب در رخ داده و انرژی رانش ترک برای انشعاب از تبدیل انرژی جنبشی MNP بدست آمده است.اگر ترک دو شعبه شود انرژی لازم برای گسترش هر دو ترک به اندازه ԁa برابر است با ۲R . تصور کنید هر دو ترک از P تا S انتشار یابند. انرژی مصرفی کل برابر سطح QSTV می باشد. فقط قسمتی از این انرژی می تواند از انرژی ارتجاعی رها شده ( اصولا سطح NSTV ) تامین شود. اما قسمت باقیمانده یعنی سطح QSN قبلا توسط انرژی جنبشی MNP در شروع انشعاب تامین شده است.

در حین گسترش بیشتر ترک انرژی مصرفی بیشتر از انرژی تولیدی G می باشد. وقتی انرژی از قبل در دسترس توسط ترک ها مصرف شود دیگر انرژی اضافی که به انرژی جنبشی تبدیل شود وجود ندارد. بعد از رشد اضافی به اندازه ، انرژی جنبشی در دسترس توسط انشعاب ترک کاملا مصرف خواهد شد ( سطح MNP = سطح NQS ). انرژی جنبشی صفر معادل سرعت ترک صفر می باشد. بدین معنی که سرعت ترک به تدریج در S به صفر می رسد. چون نرخ انرژی ارتجاعی رهاشده هنوز برای دو ترک کافی است، توقف کامل ترک رخ نمی دهداما یک ناپایداری فورا ایجاد و ترک انشعابی به تدریج با شتاب بیشتری رشد می کند. انشعاب بیشتر به همین روش می تواند به وجود آید. مکانیزم شکل ( ۲ – ۱۳ – ب ) را می توان برای راحتی که مقدار رشد ترک کمتر از باشد نیز به کار برد.این مکانیزم در شکل ( ۲ – ۱۴ ) نشان داده شده است.پس از مقداری رشد ترک، انرژی جنبشی تامین شده برابر سطح TXV می باشد. چون انرژی جنبشی صرف رشد می شود انشعاب ترک نمی تواند رخ دهد. بعد از یک زمان کوتاه انرژی جنبشی مصرف می شود ( سطح TXV مساوی سطح XZAB ). بدین معنی که سرعت ترک ( هر دو ترک ) صفر می شود. نرخ انرژی ارتجاعی رها شده ( نقطه B ) برای تامین انرژی دو ترک کافی نمی باشد، اما بیش از انرژی لازم برای رشد یک ترک می باشد. مفهوم این عبارت این است که یکی از انشعاب ها دوباره ناپایدار شده و گسترش می یابد، در حالی که ترک دیگر کاملا متوقف شده است. کمی دورتر ( نقطه F ) امکان انشعاب دیگری به همان روش وجود داردامکان اینکه اولین انشعاب دوباره شروع به رشد کند وجود ندارد: زیرا ترک اولیه در پشت پیشانی ترک اصلی قرار دارد و بنابراین در منطقه ای است که تنش ها به طور قابل ملاحظه ای کاهش یافته اند انرژی جنبشی مساوی سطح BCDF شده است و می تواند توسط شاخه دوم مصرف شود( HFML )[1].
در این حالت نقش انرژی جنبشی در پیدایش ترک جدید را تاثیر داده ایم ولی ترک های انشعابی پس از تشکیل متوقف می گردند. در این حالت سرعت مینیمم لازم برای انشعاب خیلی کمتر از می باشد. در نقطه B انرژی الاستیک رها شده برای دو ترک کافی نیست ولی بیش از انرژی لازم برای یک ترک است. لذا یکی از ترک ها متوقف می گردد ولی دیگری به رشد خود ادامه می دهد. در نقطه F که انرژی لازم برای دو ترک در دسترس می باشد یک ترک جدید شروع به رشد می کند نه ترک متوقف شده قبلی. زیرا آن ترک در پشت نوک ترک اصلی قرار گرفته و در ناحیه پشت نوک ترک، تنش به طور قابل ملاحظه ای کاهش یافته است.
گاهی انشعاب ترک در عمل دیده شده است. بخصوص در حالت شکست ترد، ترک ها با سرعت زیادی انشعاب می یابند، مثل خرد شدن شیشه.
انفجار منابع تحت فشار و تکه تکه شده آن ها نیز در اثر انشعاب ترک می باشد. اگر G پیوسته افزایش یابد این انفجار آسانتر خواهد بود. یعنی در منابع حاوی گاز و پوسته ها انفجار نسبت به منابع حاوی مایع خیلی آسانتر انجام می شود. در مورد سرعت لازم جهت انشعاب ترک یک سردرگمی و خلط مبحث وجود دارد. سرعت اندازه گیری شده با آنچه تئوری پیش بینی می کند موافقت ندارد.
شکل ۲ – ۱۴ : گسترش نیافتن شاخه های ترک [۱]
مطابق شکل ( ۲ – ۱۳ – الف ) اگر انشعاب بدون کمک انرژی جنبشی رخ دهد سرعت لازم ترک حدود می باشد.اما اگر انرژی جنبشی را بتوان برای گسترش ترک به کار برد در سرعت های کمتری از پدیده انشعاب رخ می دهد. در حالتی که ترک های انشعابی گسترش می یابند ( شکل ۲ – ۱۳ – ب ) می نیمم گسترش ترک برای انشعاب می باشد. در اینصورت و مینیمم سرعت ترک برای انشعاب می باشد. در حالتی که ترک های انشعابی گسترش نیافته و متوقف می گردد سرعت لازم برای ترک خیلی کمتر از خواهد بود[۱].
بدون شک یکی از علل اختلاف تئوری و تجربی، اثرات دینامیکی روی G و R می باشد که در تئوری از آن صرف نظر شده و اثر دیگر ثابت نبودن و در نتیجه خطی نبودن G در طول آزمایش است. بخصوص در آزمایش لبه ها ثابت، زاویه بین ترک های انشعابی می توان به دست آورد. زاویه بین ترک های انشعابی در حدود ۱۵ درجه می باشد[۱].
۲ – ۱۷ انشعاب متقارن برای ترک مد I

شکل ۲ – ۱۵ : انشعاب متقارن [۲۱]
انشعاب متقارن در شکل (۲ – ۱۵ ) برای ترک مد I نشان داده شده است که یکی از الگوهای معمولی انشعاب است تحت شرایط مناسب نرخ انرژی رهاشده برای انشعاب به صورت زیر است[۲۱] :
( ۲ – ۵۰ )
نرخ انرژی رهاشده با توجه به با گذاشتن = ۰ بیشینه می شود یعنی
که زاویه بحرانی ترک را می دهد:
یک مثال تجربی برای انشعاب ترک در شکل ( ۲ – ۱۶ ) نشان داده شده است.

شکل ۲ – ۱۶ : یک مثال تجربی از انشعاب ترک مد I [22]
انشعاب جانبی برای ترک مد I :
انشعاب جانبی برای ترک مد I در شکل ( ۲ – ۱۷) نشان داده شده است. نرخ انرژی رها شده برای نوک در ترک انشعاب جانبی به صورت زیر است[۲۱]:
( ۲ – ۵۱ )
که زاویه بحرانی ترک به صورت زیر می شود:

شکل ۲ – ۱۷ : انشعاب جانبی برای ترک مد I [21]

شکل ۲ – ۱۸ : یک مثال تجربی از crack side – branching از ترک مد I [23]
فصل سوم
فصل سوم تئوری انشعاب
تئوری انشعاب
۳ – ۱ مقدمه
برای بررسی انشعاب در ریاضیات چندین خانواده تابع ، تابع لوگوستیک^[۴۴] ، تابع نمایی^[۴۵] و تابع سینوس مورد بررسی قرار می گیرند که در اینجا و ثابت هستند. ثابت های ، و پارامتر نامیده می شوند این توابع به عنوان مرجع استفاده می شود و نقاط انشعاب آنها مورد بررسی قرار می گیرند. با بررسی معادلات موجود در تئوری های مکانیک شکست به این نتیجه رسیده می شود که تابع به معادلات موجود در تئوری های مکانیک شکست نزدیکتر است و با اندکی تغییر می توان آن ها را به این شکل در اورد. به همین دلیل در این فصل تابع مورد بررسی قرار گرفته و نقاط انشعاب این تابع و شکل انشعاب ان مورد بررسی قرار گرفته شده است [۲۴].
۳- ۲ تکرار توابع
برای تکرار یک تابع ما باید تابع را پی در پی با بهره گرفتن از خروجی محاسبه قبلی به عنوان ورودی برای بعدی بررسی کنیم. ما این را به صورت زیر می نویسیم :
برای تابع ، تکرار دوم از تابع یعنی است و تکرار سوم از تابع است. به طور کلی ترکیب n ام با خودش است. به عنوان مثال اگر باشد پس [۲۴,۲۵]:
۳ – ۳ چرخه ها
داده شده است. ما چرخه را تحت که توالی از نقاط باشد تعریف کردیم. نقطه بذر^[۴۶] چرخه نامیده می شود.
به عنوان مثال اگر و نقاط اولیه چرخه به صورت زیر است:
۳ – ۴ نوع چرخه ها
تعداد زیادی از انواع چرخه ها در سیستم های دینامیکی معمولی وجود دارند. بدون شک مهمترین نوع چرخه نقطه ثابت است. یک نقطه ثابت یک نقطه است که را براورده می کند. توجه کنید که و به طور کلی . بنابراین چرخه نقطه ثابت توالی ثابت است یک نقطه ثابت هرگز تغییر نمی کند. همان طور که اسمش اشاره می کند توسط تابع ثابت شده است. به عنوان مثال ۰، ۱ و ۱- همه نقاط ثابت برای هستند درحالی که ۰ و ۱ تنها نقاط ثابت برای هستند. نقاط ثابت با حل تابع زیر به دست می آیند:
( ۳ – ۱ )
نقاط ثابت ممکن است همچنین به طور هندسی توسط بررسی تقاطع نمودار با خط قطری پیدا شوند. به عنوان مثال شکل (۳ - ۱) نشان می دهد که تنها نقطه ثابت ، است. چون تنها نقطه تقاطع نمودار S با خط قطری است. به همین نحو یک نقطه ثابت در ۷۳۹۰۸۵/۰ دارد که در شکل ( ۳ – ۲ ) نشان داده شده است[۲۴,۲۵].
۳ – ۱: نقطه ثابت تابع صفر است [۲۴].
شکل ۳ – ۲: نقطه ثابت تابع ، ۷۳۹۰۸۵/۰ است [۲۴].
نوع مهم دیگر از چرخه ها ، چرخه تناوبی^[۴۷] است. نقطه تناوبی است اگر برای باشد. کمترین مقدار n تناوب اصلی^[۴۸] چرخه نامیده می شود. توجه کنید اگر تناوبی با تناوب اصلی n باشد پس چرخه یک توالی تکرار کننده از شماره ها است.
( ۳ – ۲ )
به عنوان مثال ۰ در یک چرخه از تناوب اصلی دو برای قرار می گیرد
چون و . بنابراین چرخه ۰ به صورت زیر است:
ما همچنین می گوییم ۰ و ۱- یک چرخه دوگانه^[۴۹] تشکیل می دهند. به همین نحو ۰ در یک چرخه تناوبی با تناوب اصلی ۳ یا چرخه سه گانه برای تابع قرار می گیرد چون ، و . بنابراین چرخه به صورت زیر است:
نقطه ، نقطه سرانجام ثابت^[۵۰] یا نقطه سرانجام تناوبی^[۵۱] نامیده می شود اگر خودش ثابت یا تناوبی نیست اما بعضی نقاط روی چرخه ثابت یا تناوبی است. به عنوان مثال ۱- نقطه سرانجام ثابت برای تابع است چون که یک نقطه ثابت است.
به همین نحو نقطه سرانجام تناوبی برای تابع است چون است که در یک چرخه ای از تناوب دو قرار می گیرد[۲۴].
۳ – ۵ تحلیل گرافیکی
فرض کنیم نمودار تابع را داریم و می خواهیم چرخه نقطه را نمایش دهیم. با قرار دادن خط روی نمودار شروع می کنیم. همان طور که قبلا دیدیم نقطه تقاطع خط قطری با گراف به ما نقطه ثابت نمودار را می دهد. برای اینکه چرخه را پیدا کنیم ما با نقطه ( , ) روی قطر بالای روی محور شروع می کنیم. ما ابتدا یک خط قائم بر نمودار رسم می کنیم. موقعی که این خط به نمودار رسید ما به نقطه ( , ) می رسیم. ما سپس یک خط افقی از این از این نقطه به قطر رسم می کنیم. ما به قطر در نقطه ای که مختصات آن است می رسیم و بنابراین مختصات آن همچنین است. بنابراین ما به قطر بالای نقطه ای که مختصات آن است که نقطه بعدی روی چرخه می رسیم.
حالا این روش را ادامه می دهیم ویک خط قائم از (, (روی قطر بر نمودار رسم می کنیم که به نقطه ( , ) می رسیم . سپس یک خط افقی به قطر رسم می کنیم که به قطر در نقطه ( , ) بالای نقطه بعدی در چرخه می رسد.برای اینکه چرخه را به طور هندسی نمایش بدهیم بنابراین ما این روش را ادامه می دهیم: ما ابتدا یک خط قائم از قطر به گراف رسم می کنیم سپس یک خط افقی از نمودار به قطررسم می کنیم . شکل ۳- ۳ یک کاربرد معمولی از تحلیل گرافیکی را نشان می دهد. این روش ممکن است استفاده شود تا بعضی از رفتارهای دینامیکی را که قبلا مشاهده کردیم توصیف کنیم. به عنوان مثال در شکل ۳ – ۴ تحلیل گرافیکی رسم شده است. توجه کنید که هر نقطه به ما یک پله^[۵۲] می دهد که به نقطه تقاطع گراف با قطر منجر می شود[۲۴].
شکل ۳ -۳ : تحلیل گرافیکی [۲۴]
شکل ۳ -۴ : تحلیل گرافیکی تابع [۲۴]
در شکل ۳ – ۵ نمودار تحلیل گرافیکی رسم شده است. توجه کنید که هر چرخه ای در این مورد دوباره به نقطه تقاطع نمودار C با قطر تمایل دارد. همچنانکه ما به طور عددی قبلا مشاهده کردیم این نقطه به طور تقریبی با ۷۳۹۰۸ /۰( به رادیان) داده می شود [۲۴].
شکل ۳ – ۵ : تحلیل گرافیکی تابع [۲۴]

۱ـ ۲ـ ۱٫ تحصیل در تون
فاضل تونی در زادگاهش، صرف و نحو را آموخت که شامل جامع المقدمات، شرح قطرالندی، البهجه المرضیه (شرح سیوطی بر ألفیه ابن مالک)، و هشت باب مغنی اللبیب می‌شود. صرف را نزد شیخ محمدحسن^[۱۲]، البهجه المرضیه (شرح سیوطی بر ألفیه ابن مالک) را نزد ملا محمدباقر تونی، و مغنی را نزد آقا میرزا حسین خواند. در معانی و بیان، مقداری از مطول را فراگرفت و بعداً در مشهد آن را تکمیل کرد.^[۱۳]
قدرت حافظه و حدّت ذهن و سرعت فراگیریش چنان بود که تحسین و تعجب همگان را بر می‌انگیخت و پس از چندی، در همان زادگاهش سرآمدِ اقران شد و افراد متمکّن، فرزندان خود را برای تحصیل یا مباحثه به خدمتش می‌فرستادند.^[۱۴]

۱ـ ۲ـ ۲٫ تحصیل در مشهد
فاضل تونی درباره‌ی تحصیل خود در مشهد، چنین می‌گوید:
مطوّل را در [مدرسه‌ی نواب] مشهد خدمت ادیب نیشابورى تا مسند الیه در «تحقیق ما أنا قلت» [خواندم] که در اینجا خوب تحقیق نکرد و مأیوس شدم. پیش شخصى به نام آقا میرزا عبدالرحمن [مدرّس شیرازی] رفتم که مثل ادیب سر و‌ صدا نداشت؛ ولى اعلم از او بود و «تحقیق ما أنا قلت» را خوب بیان کرد. و ریاضیات را نیز پیش [همین] آقا میرزا عبدالرحمن خوانده‏ام.^[۱۵]
جالب است بدانید لقب «فاضل» را ادیب نیشابوری به ایشان داد. فاضل تونی، خود، می‌فرماید:
عادت مرحوم ادیب این بود که درس هر روز را می‌بایستی یکی از شاگردان بخواند. در روز چهارم نوبت به من رسید که از دیگران بهتر خواندم. مرحوم ادیب گفت: این رجل فاضل کیست؟ مرا پیش خود خواند و در پهلوی خود نشانید. بدین سبب از آن روز به فاضل مشهور شدم.^[۱۶]
از آن پس، همه‌روزه خواندن متن به ایشان واگذار شد.^[۱۷]
با این که علوم ریاضی چندان مورد استقبال طلاب نبود، با شوق و شور تمام ریاضیات را شامل خلاصه الحساب شیخ بهایی و هیأت و نجوم و تحریر اقلیدس، از همان میرزا عبدالرحمن فراگرفت.
فقه و اصول نیز از دیگر دروسی بود که در مشهد آموخت. حجت‌الاسلام بجنوردی در فقه و اصول، و شیخ اسماعیل قائنی در درس معالم (اصول)، استادش بودند.^[۱۸]
۱ـ ۲ـ ۳٫ تحصیل و تدریس در اصفهان
اصفهان در آن هنگام که فاضل تونی در آن اقامت گزید، مهد علم و دانش بود و علوم دینی و فلسفی رونق داشت. قریب ۲۵۰۰ طلبه‌ی پرشور و با حرارت در حوزه‌های مختلف علمیِ آن شهر مشغول استفاضه بودند و برخی از آنان مانند مرحوم آیت‌الله بروجردی ۱ بعدها به بالاترین مدارج علمی^[۱۹] رسیدند. در اصفهان به همراه شیخ محمد، حجره‌ی محقّری گرفتند و مدتی با هم به مباحثه و تحصیل پرداختند. در ماه‌های اول ورود به اصفهان، چون غریب و بی‌آشنا بودند و شهریه کافی نداشتند، زندگی به سختی می‌گذراندند. بسیار اتفاق می‌افتاد که ایشان غذای کافی نمی‌یافت و اگر می‌یافت، از نان و ماست یا نان و پیاز یا نان و پنیر تجاوز نمی‌کرد.^[۲۰]

مخصوصاً مکرر به برخی از شاگردان^[۲۲] فرموده بود که اولین ماه رمضان را در اصفهان با سختیِ بسیار گذرانید و افطار و سحر به نان و پیاز و گاهی به نان و ماست اکتفا می‌کرد و به واسطه تعفف و مناعت طبع هرگز کسی را از حال خود آگاه نمی‌ساخت و حتی وقتی تُجّار خَیِّرْ طلاب را به افطار دعوت می‌کردند، برای این که از درس و مباحثه بازنماند، از اجابت دعوت آنان سر باز می‌زد و به آنچه خود داشت، قناعت می‌ورزید و با خود می‌گفت:

در آن زمان، جهانگیرخان قشقایی منظومه را در شش سال می‌گفت و لابه‌لای آن قسمت اعظم مطالب شفا و اشارات و حکمه الإشراق و أسفار را بیان می‌کرد. مرحوم فاضل در سومین دوره‌ی تدریسِ جهانگیرخان، به محضر او پیوست و در تمام مدت شش سال ـ جز هنگامی که به مرض حصبه مبتلا شده بود ـ حتی یک روز از درس آن بزرگ غفلت نفرمود. در روز شروع، قریب ۱۲۰ تن طلبه حضور داشتند؛ ولی به‌تدریج که مباحث پیچیده و مشکل می‌شد، عده‌ی طلاب رو به کاهش می‌نهاد. عده‌ای در مبحث وجود ذهنی، درس را ترک کردند و عده‌ی دیگر در مبحث عاقل و معقول، و همین طور … .