ظرفیت
رسانش
ظرفیت
رسانش
ظرفیت
µ_f
µ_f
الف-نوع n
ب-بدون آلاییدگی
ج-نوع p
گاف
شکل ‏۲‑۱ نیمه هادی ها با انواع آلاییدگی و انرژی فرمی) (µ_f مختلف الف-نیمه هادی نوع n که سطح فرمی به نوار رسانش نزدیک شده است. ب- نیمه هادی بدون آلاییدگی. ج- نیمه هادی نوع p که سطح فرمی به نوار ظرفیت نزدیک شده است.
در این بازه یعنی بعد از واهلش داخل نواری و قبل از واهلش بین نواری یک توزیع گرمایی تعادلی در هر باند به وجود می‌آید گرچه که در این زمان کل نیمه هادی در حالت تعادل نیست[۲۳]. در این حالت می‌توان از دو احتمال اشغال جدا برای نوارهای رسانش و ظرفیت استفاده کرد. طبق آنچه گفته شد ما دو پتانسیل شیمیایی برای نوارهای رسانش(µ_c) و ظرفیت(µ_v) داریم که در شکل ‏۲‑۲ نشان داده‌ایم. اگر فرآیندهای واهلش درون نواری در محدوده زمانی ۱۰^-۱۲ sec رخ دهد آنگاه ما شبه سطح فرمی را خواهیم داشت[۲۴].

رسانش
ظرفیت
µ_c
µ_v
شکل ‏۲‑۲ شبه سطح فرمی. در این حالت دو پتانسیل شیمیایی µ_c برای نوار رسانش و µ_v برای نوار ظرفیت داریم.
موضوع بحث این پایان نامه گرافن است. در گرافن همان‌طور که در فصل سوم خواهیم گفت فرآیندی شبیه نیمه هادی ها رخ می‌دهد. یعنی بعد از دمش توسط یک لیزر ما ابتدا فرایند برخورد داخل نواری را داریم، سپس بازترکیب رخ می­دهد که این یعنی برای نوشتن تابع توزیع باید مقدار شبه سطح فرمی را بدانیم.
شرط لازم نیمه هادی برای رسیدن به تقویت نوری بعد از دمش
در این بخش شرایط مشاهده گسیل القایی در نیمه هادی­ها برای حالتی که جابجایی بین دو نوار ظرفیت و رسانش رخ دهد را بررسی می­کنیم[۲۵]. اگر یک نیمه هادی را در شرایط تعادل^[۳۷] در نظر بگیریم احتمال اشغال هر حالت انرژی سیستم E(k) به‌وسیله تابع توزیع فرمی دیراک به صورتی که گفته شد محاسبه می‌شود. اگر کریستال در شرایط تعادل نباشد آنگاه شاکلی^[۳۸][۲۶] نشان داد تحت شرایطی که بیان شد، احتمال اشغال هر حالت به‌وسیله رابطه ‏۲‑۳ داده می‌شود:
‏۲‑۳
که در آن شبه سطح فرمی است. این شبه سطح فرمی برای نوار ظرفیت و نوار رسانش جداگانه تعریف می‌شود که در شرایط تعادل است. یک حالت در نوار ظرفیت به‌وسیله انتقال مستقیم الکترون به حالت دیگری در نوار رسانش با جذب یک فوتون اشغال می‌شود. اگر احتمال رخ دادن این فرایند بر واحد زمان را با نشان دهیم و یک میدان تابشی با چگالی P(V) از فوتون داشته باشیم، که فوتون‌های آن انرژی دارد، پارامتر تعداد جذب بر واحد زمان Na بصورت زیر تعریف می­ شود:
‏۲‑۴
و برای پارامتر تعداد تابش شده بر واحد زمان توسط گسیل القایی داریم:
‏۲‑۵
که A چگالی حالات نوار رسانش و ظرفیت است. منظور از c نوار رسانش و v نوار ظرفیت می­باشد. حال اگر فاکتور احتمال برای رفتن از نوار ظرفیت به رسانش را با احتمال رفتن از نوار رسانش به ظرفیت مساوی بگیریم شرط لازم برای تقویت این است که N_e>N_a و می‌توان نوشت:
‏۲‑۶
و این یعنی:
‏۲‑۷
حال همان‌طور که می‌دانیم برای انتقال بین دو نوار انرژی باید اختلاف آن‌ها به اندازه انرژی داده شده به سیستم باشد:
‏۲‑۸
که با جایگذاری ‏۲‑۸ در ‏۲‑۷ شرط به‌صورت به دست می‌آید:
‏۲‑۹
پس اگر شرط ‏۲‑۹ بر قرار باشد شرایط رسیدن به گسیل القایی برای ما فراهم است. شرایطی که در بالا فراهم شد در صورتی است که، بعد از دمش نیمه هادی فرآیندی برای از بین رفتن انرژی حامل مثل برخورد الکترون‌ها با هم یا انتشار فونون یا سایر فرآیندهای ممکن را در سیستم نداشته باشیم. حال شرط رسیدن به گسیل القایی در صورت وجود فونون در سیستم بررسی می‌کنیم[۲۵]:
‏۲‑۱۰
در معادله ‏۲‑۱۰ انرژی q امین فونون تولید شده در سیستم است و است که علامت مثبت انتشار فونون و منفی اشاره به جذب فونون در فرایند تولید جمعیت معکوس دارد. حال اگر مثل قبل روابط را بنویسیم داریم:
‏۲‑۱۱
که اگر در رابطه ‏۲‑۱۰ قرار دهیم و آن را بررسی کنیم مشاهده می‌کنیم که باز هم شرایط رسیدن به گسیل القایی همان شرط ‏۲‑۸ است. مفهوم شبه سطح فرمی برای یک گروه از حالت‌ها در صورتی صحیح است که الکترون‌های گروه در زمانی بسیار کوتاه‌تر از زمان لازم برای برگشت جمعیت به شرایط تعادل انرژی‌شان را با حمام گرمایی^[۳۹] مبادله کنند. این یک شرط لازم برای رسیدن به تقویت نوری است ولی شرط کافی نیست. در فصل‌های سوم و چهارم خواهیم دید شرط لازم دیگر برای رسیدن به تقویت نوری در گرافن افزایش قابل توجه شدت است. در فصل سوم و چهارم ما به جای شبه سطح فرمی از واژه پتانسیل شیمیایی استفاده می‌کنیم.
گرافن به عنوان ماده فعال لیزر بعد از دمش
وقتی الکترون‌ها در یک ماده به‌وسیله نور برانگیخته می‌شوند با بدست آوردن انرژی حالت‌های بالاتر خود را اشغال می‌کنند که این حالت‌ها در شرایط عدم تعادل^[۴۰] هستند. در اکثر نیمه هادی‌ها اگر از لیزر با پالس کوتاه مثل لیزرهای فمتو ثانیه استفاده شود حالت‌های الکترونی در حین یا مدت کوتاهی بعد از پالس در یک تراز معین می­باشند. اما بعد از این زمان به علت برخورد حامل‌ها با هم یا با فونون‌ها انرژی خود را از دست می‌دهند[۲۷]. در این حالت می‌توان الکترون‌ها را با یک تابع توزیع گرمایی نشان دهیم.
بررسی نیمه هادی‌های دو بعدی و سه بعدی نشان می‌دهد اگر با یک لیزر ۱۰ fs آن‌ها را دمش کنیم، زمان ماندن الکترون‌ها در یک سطح در نوار رسانش خیلی بیشتر از پالس لیزر می‌باشد. این ویژگی باعث می‌شود که ما به جمعیت معکوس کمتری و در نتیجه تقویت نوری کمتری دست پیدا کنیم. علت آن این است که اصل طرد پاولی^[۴۱] اجازه نمی‌دهد حالت خاصی از سیستم توسط دو الکترون با اعداد کوانتومی یکسان اشغال شود. در گرافن بعد از دمش الکترون‌ها سریعا شروع به واهلش می­ کنند به طوری که در همان هنگامی که زمان پالس تمام نشده برخوردهای الکترون‌ها با هم آغاز می­ شود[۲۷]. بررسی آزمایش‌های مختلف نشان می‌دهد که زمان اتمام برخورد­های الکترونی تقریبا از مرتبه زمان پالس دمش مورد استفاده است. در فصل سوم روی این موضوع بحث خواهد شد. موضوع اهمیت زمان ماندن الکترون‌ها در یک سطح خاص در نوار رسانش این جا مشخص می‌شود که با افزایش خیلی زیاد شدت دمش و تولید شرایط غیر تعادلی شدید، الکترون­های زیادی به نوار رسانش انتقال پیدا می­ کنند. اگر حالت­های نوار رسانش پر باشند (طبق اصل طرد پاولی) الکترون اجازه انتقال به نوار رسانش را ندارد. ولی اگر الکترون­های انتقال یافته سریعا حالت مورد نظر را خالی کنند، یعنی به عبارتی واهلش سریع داشته یاشند، می­توان شدت را خیلی بالا برد که نتیجه­اش افزایش قابل توجه تقویت نوری است. چون این ویژگی در گرافن وجود دارد می­توان با افزایش شدت، تقویت نوری را تا میزان بسیار بالاتری در مقایسه با لیزرهای نیمه هادی معمولی بالا برد. نکته مهمی که در فصل سوم خواهیم دید این است که دمش مورد استفاده برای لیزر گرافن باید حتما در حد چند ده فمتو ثانیه باشد. همانطور که گفتیم علت این موضوع این است که، برخورد حامل‌ها بسیار سریع شروع می‌شود که نتیجه آن از دست رفتن انرژی در گرافن و گسیل خود به خودی حامل‌ها است. این موضوع باعث عدم رسیدن به تقویت نوری را می­ شود.
فصل سوم
فصل سوم: بررسی حامل­های گرافن
بررسی حامل­های گرافن
مقدمه
بررسی ساختار نواری گرافیت تک لایه یا همان گرافن ابتدا توسط والاس^[۴۲] در سال ۱۹۴۷ انجام شد. در آن مقاله بررسی ساختار نواری و خواص گرافن در شرایط تعادل^[۴۳] به طور کامل انجام شده است. اما رفتار حامل‌ها در گرافن در شرایط غیر تعادلی^[۴۴] با شرایط تعادلی متفاوت می­باشد. نتایج یکی از اولین بررسی حامل‌ها با بهره گرفتن از دمش فمتو ثانیه نشان می‌دهد[۲۸] که، اولا گرافیت به علت ناهمسانگردی که دارد از انتشار حامل در جهت عمود بر هر صفحه گرافیتی (گرافن) جلوگیری می‌کند. این موضوع یعنی اگر انرژی به گرافیت بدهیم، این انرژی در دو بعد درون آن منتشر می‌شود. این باعث می‌شود که گرافیت برای مطالعه دینامیک پلاسمای الکترون و حفره دو بعدی بسیار مناسب باشد. ثانیا ویژگی شبه فلزی که دارد هر دو خصوصیت نیمه هادی و فلز را دارا است. یعنی گرافن می‌تواند الکترون و حفره به‌وسیله برانگیختگی تولید کند که این یک رفتار شبیه نیمه هادی ها است و از طرف دیگر به علت عدم وجود گاف شبیه فلزات می‌باشد.
یکی از کاربردهای وسیع پالس‌های فمتو ثانیه مطالعه فرآیندهای دینامیکی شیمیایی، حالت جامد و بیولوژیکی خیلی سریع در مواد است. درست مانند فلاش‌های الکترونیکی(سرعت فلاش از مرتبه میلی ثانیه است) که هنگام روشن شدن مثل این هست که توقفی در جسم بوجود(که جابجایی به سرعت آن از مرتبه میلی ثانیه یا کمتر هست) می‌آورد، تا برای عکس برداری آماده شود. ما برای این که گرافن را در هنگام بر هم کنش با نور بررسی کنیم، ابتدا داده‌های مربوط به طیف نگاری را مطالعه کردیم که بتوانیم به‌وسیله آن تئوری مورد نیاز برای مدل کردن گرافن را بشناسیم.
در ادامه ابتدا روش طیف نگاری دمش-کاوشگر را به‌صورت خلاصه معرفی می‌کنیم. سپس وضعیت نوری گرافن حین دمش و وضعیت حامل‌های آن را بیان خواهیم کرد. در نهایت مدل‌های استفاده شده در فصل چهارم را مورد ازریابی قرار خواهیم داد.
معرفی طیف نگاری دمش-کاوشگر