در روابط بالا  طول بردار واحد است. D قطر نانولوله متناظر با بردار آن و زوایه پیچش^[۴۴] است.
۲-۵-۲- نانولوله کربنی چند جداره
نانولوله های کربنی چند جداره از چند استوانه کربنی هم محور تودر تو ایجاد می شوند. نانولوله های چند جدارهرا می توان به صورت دسته ای از نانولوله های هم مرکز با قطرهای متفاوت در نظر گرفت. طول و قطر این ساختارها در مقایسه با نانولوله های تک جداره بسیار متفاوت است که در نتیجه خواص آنها نیز بسیار متفاوت است. در ساختار نانولوله های کربنی چند جداره مخروط های کربنی نیز دیده می شود این مخروط ها از کاهش تدریجی قطر نه به دلیل نقص در جداره بلکه به دلیل تعداد پنج ضلعی های کمتر درپوش انتهایی به وجود می آیند.

شکل(۲-۷) نانو لوله کربنی چند جداره
۲-۵-۳- فولرایت
فولرایت شکل بسیار فشرده نانولوله است. نانولوله های تک جداره پلاریز شده^[۴۵] دسته­ای از فولرایت­ها هستند که سختی آنها در حد الماس است.
۲-۵-۴- متخلخل یا حلقه ای^[۴۶]
نانوتروس، نانولوله ای کربنی است که به شکل یک حلقه خم شده است. نانوتروس ها خواص منحصر به فرد بسیاری دارند. مثلاً مقدار مغناطیس آنها ۱۰۰۰ برابر بیشتر است. از آنچه برای برخی از مواد دیگر انتظار می رفت و بسیاری خواص دیگر نظیر پایداری حرارتی و…. که با شعاع حلقه و قطر لوله تغییر می کند.

شکل(۲-۸) نمای یک نانو تروس
۲-۶- خواص نانولوله ای کربنی
خواص الکتریکی، مولکولی و ساختار نانولوله ها تا حد زیادی از ساختار تقریباً یک بعدی آنها ناشی می شود. در این جا به مهم ترین خواص نانولوله های کربنی و علت مولکولی آنها اشاره می کنیم.
۲-۶-۱- واکنش پذیری شیمیایی
به دلیل وجود انحنا و قوسی شکل بودن سطح نانولوله ها کربنی آنها واکنش پذیری بهتری در مقایسه با صفحه گرافیتی دارند. واکنش پذیری نانولوله های کربنی مستقیماً به بهم ریختن توازن اوربیتال پی^[۴۷]آنها که در اثر انحنای سطحی ایجاد می شود بستگی دارد. بنابراین باید بین جداره (بدنه) و درپوش نانولوله تمایز قائل شد به همین دلیل نانولوله های با قطر کمتر از واکنش پذیری بیشتری برخوردارند. تعدیل شیمیایی پیوندهای کووالانسی در جداره یا درپوش نیز امکان پذیر است. به عنوان مثال قابلیت حل پذیری نانولوله های کربنی در حلال های مختلف را می توان به این ترتیب کنترل کرد.
۲-۶-۲ استحکام و مقاومت
نانولوله­های کربنی هم از نظر مقاومت کششی و از نظر ضریب کشسانی، یکی از محکم ترین موادی­اند که تاکنون شناخته شده اند. این استحکام برگرفته از پیوندهای کووالانسی بین اتم های کربن است. مدول یانگ نانولوله های کربنی در راستای محورشان بسیار زیاد است. نانولوله ها به دلیل طول بسیار زیادشان از قابلیت انعطاف پذیری بالای برخوردارند. در نتیجه این ترکیبات برای کاربرد در مواد مرکب که به خواص ناهمگون نیاز دارند بسیار مناسب اند.
در سال ۲۰۰۰ مقاومت کششی نانولوله های چند جداره برابر ۶۳ گیگا پاسکال اندازه گیری شد. برای مقایسه مقاومت کششی استیل کربن مرغوب برابر یک و دو دهم گیگا پاسکال است. همچنین نانو لوله های تک جداره ضریب کشسانی بسیار بالایی حدود یک ترا پاسکال دارد. با در نظر گرفتن این که نانولوله های کربنی چگالی وزن پایینی دارند استحکام ویژه آنها در میان تمام مواد شناخته شده بهترین است. لوله ها تحت نیروی کششی بالا دچار تغییر شکل پلاستیک می­شوند یعنی تغییر شکل دائمی پیدا می­ کنند. در حالت فشار و بهم فشردگی، استحکام نانو لوله های کربنی کمتر است. این به دلیل ساختار درون تهی آن هاست که به پیچ خوردن یا خم شدن آنها (پدیده کمانش در نانولوله­های جداره نازک یا پدیده چین خوردگی در نانولوله­های جداره ضخیم) تحت تنش­های خمشی، پیچشی یا فشاری منجر می شود.
۲-۶-۳- خواص حرکتی
نانولوله های کربنی چند جداره نانولوله های هم محوری اند که دقیقاً داخل یکدیگر قرار گرفته اند و دارای خاصیتی برجسته اند. به این ترتیب که یک نانولوله در هسته مرکزی می تواند درون لوله بیرونی بدون هیچ اصطکاکی بلغزد و یک یاتاقان خطی و یا چرخشی ایده آل اتمی را به وجود می آورد. این یکی از اولین مثال های واقعی نانوفناوری مولکولی است (جاگذاری دقیق اتم ها برای ساخت ماشین­های مفید). این خاصیت هم اکنون برای ساخت کوچکترین موتور چرخشی جهان و یک نانورئوستات^[۴۸]استفاده می شود. در کاربردهای آینده دورنمای جالبی نظیر نوسان سازی های مکانیکی گیگاهرتزی به چشم می خورد.
۲-۶-۴- خواص الکتریکی
به دلیل تقارن و ساختار منحصر به فرد گرانیت خواص الکتریکی نانولوله به شدت تحت تأثیر ساختار نانولوله است. بسته به بردار کایران آنها لوله های کربنی با قطری که می توانند نیمه هادی یا فلزی باشند. تفاوت در هدایت الکتریکی به دلیل ساختمان مولکولی آنهاست که ساختار باندی انرژی متفاوت و در نتیجه شکاف باند متفاوتی را نتیجه می دهد. تفاوت در هدایت الکتریکی را به سادگی می توان از خواص
صفحات گرافیتی استخراج کرد. ثابت شده است که یک نانولوله (n,m) در صورتی فلزی است کهn=m یا مضرب صحیحی از سه باشد (  ) مقاومت این نانولوله ها توسط قواعد کوانتوم مکانیکی تعیین می گردد و اثبات شده که از طول نانولوله مستقل است. انتظار می رود نانولوله های فلزی چگالی جریانی هزاران برابر بیشتر از فلزاتی نظیر مس و نقره داشته باشند.
۲-۶-۵- خواص حرارتی
تمام نانولوله ها هدایت گرمایی خوبی در راستای طول شان دارند در حالیکه در راستای عرض لوله عایق حرارت اند و به این ترتیب می توانند گرما را از مسیرهای هدایت شده انتقال دهند.
۲-۶-۶- رفتار الاستیکی
بررسی رفتار الاستیکینانولوله های تک جداره یکی از بحث های جنجالی سال های اخیر بوده است. در مجموع نانولوله های تک جداره از استیل سخت تر و در برابر نیروهای فیزیکی مقاوم ترند. فشار بر سر نانولوله ها بدون اعمال هیچ صدمه ای به نانولوله ها باعث خم شدن آن می شود. با برداشتن فشار، سرنانولوله به موقعیت اولیه اش برمی گردد. فرمول بندی این رفتار نسبتاً مشکل است و توافق روی مقدار عددی دقیقی حاصل نشده است. مدول یانگ (الاستیسیته) نانولوله ای تک جداره نزدیک یک تراپاسکال است و حداکثر استحکام کششی آن نزدیک ۳۰ گیگا پاسکال است. نتایج تحقیقات مختلف اختلاف زیادی در اعداد گزارش شده را نشان می دهد. در سال ۱۹۹۶ تحقیقات NEC و دانشگاه های پرینستون و ایلینویز، مدول یانگ را به طور متوسط برابر یک و هشت دهم تراپاسکال اندازه گیری کردند. روش اندازه گیری به این ترتیب بود که از سر یک لوله ایستاده در دماهای متفاوت عکس برداری میکروسکوپی می شود و از میزان تاری دیده شده در عکس ها ضریب یانگ محاسبه می شود. در سال ۱۹۹۷ گائو و کاگین در پنجمین کنفرانس بین المللی افق نانو تکنولوژی مولکولی سخنرانی شان از سه مقدار متفاوت برای نانولوله­ها گزارش دادند که به بردار کایرال آنها بستگی داشت. آنها اظهار داشتند که ضریب یانگ برای نانولوله آرمچر (۱۰ و ۱۰) برابر ۳۰/۶۴۰ گیگاپاسکال، برای نانولوله زیگزاگ (۱۰ و ۰) برابر ۴۳/۶۴۸ و برای یک نانولوله (۶ و ۱۲) برابر ۹۴/۶۷۳ است. این مقادیر از روی مشتق دوم پتانسیل محاسبه شده اند. در سال ۱۹۹۸ تحقیقات بیشتری در این زمینه توسط تریسی انجام شد. او با همان روش پاریه دو سال پیشتر ضریب یانگ را یک و بیست و پنج صدم تراپاسکال گزارش کرد. این ضریب یا ضریب یانگ نانولوله های تک جداره (یک و بیست و هشت صدم تراپاسکال) که در سال ۱۹۹۷ توسط ونگ به دست آمده بود قابل قیاس بود. آنها از یک دستگاه میکروسکوپ نیروی اتمی که به سر آزاد یک نانولوله ایستاده فشار وارد می کند و آن را از موقعیت تعادلش خارج می سازد استفاده و نیروی عکس العمل نانولوله را در نوک میکروسکوپ نیروی اتمی ثبت کردند. در سال ۱۹۹۹ هرماندز و روبیو نشان دادند که ضریب یانگ به اندازه و کایرالیتی نانولوله­های تک جداره بستگی دارد و از یک و بیست و دوصدم تراپاسکال برای نانولوله های (۱۰ و ۰) و (۶ و ۶) تا یک و بیست و شش صدم تراپاسکال برای نانولوله تک جداره بزرگ (۰ و ۲۰) تغییر می کند. نتایج قبلی ما را به این نتیجه سوق می­دهد که قطر و شکل نانولوله عوامل تعیین کننده میزان الاستیسیته نانولوله اند. فورو و همکارانش در زمان کار با نانولولههای نانولوله های چند جداره مختلف متوجه شدند که نتایج اندازه گیری ضریب یانگ در سال ۱۹۹۹ (توسط میکروسکوپ نیروی اتمی) برخلاف آن چه قبلاً پیش بینی می شد وابستگی شدیدی به قطر داشت در عوض استدلال کردند که ضریب الاستیسیته MENTبا مقدار بی نظمی و آشفتگی در دیواره لوله مرتبط است.
فصل سوم
مواد و روش ها
۳-۱ مقدمه
کمانش به عنوان یکی از پیچیده ترین پدیده ها در مکانیک جامدات سازه هایی را که بسیار نازک بوده و تحت نیروی فشار و یا درحوزه تنش های فشاری واقع شده اند را تهدید می کند. سازه هایی مانندستونها ، ورق ها و پوسته ها سازه های رایجی هستند که کاربرد های بسیار متنوعی در صنایع مکانیک، عمران، هوافضا و کشتی سازی دارند و مهمترین مد خرابی آنها زمانی است که تحت نیروی فشاری باشند. از طرفی امروزه از مواد کامپوزیت در عرصه های صنعت و زندگی به دلیل خواص ویژه و ممتاز محیطی همچون مقاومت درمقابل خوردگی و دماهای بسیار بالا استفاده گسترده و روز افزون می شود. بنابراین بررسی پایداری اجسام الاستیک ساخته شده از نانو کامپوزیت برای بهره گیری مناسب و بهینه از مواد کامپوزیت و شناخت دقیق خصوصیات و رفتار آنها و همچنین طراحی عملی سازه های ساخته شده از این مواد دارای اهمیت خاصی می باشدهدف بدست آوردن معادلات کمانش تیر کامپوزیتی تقویت شده با نانو لوله‌های کربنی روی تکیه­گاه الاستیک تحت نیروی محوری مطابق شکل (۴-۱) می‌باشد که در آن P نیروی محوری تیر می‌باشد.
با بهره گرفتن از تئوری­های تیر اویلر­برنولی و تیموشینکو و با در نظر گرفتن فرضیات تنش صفحه­ای، معادلات تعادل تیر با بکارگیری اصل هامیلتون بدست خواهد آمد. معادلات پایداری تیر و شرایط مرزی با اعمال نیروهای بستر الاستیک نیز بدست می­آیند.

شکل۳-۱: تیر­کامپوزیتی روی بستر الاستیک
۳-۲ -معرفی تئوری­های مختلف برای تحلیل تیر کامپوزیتی تقویت شده با نانو لوله‌های کربنی
۳-۲-۱ تئوری تیر اویلر- برنولی
در تئوری اویلر- برنولی فرضیات زیر در نظر گرفته می شود:
۱ - تیر نازک است. یعنی ضخامت تیر به طور قابل
ملاحظه­ای از دو بعد دیگر کوچک تر
است.
۲- جابه جایی های u , v , w در مقایسه با ضخامت تیر کوچک هستند.
۳- کرنش های صفحه ای  ،  ،  در مقایسه با واحد کوچک هستند.
۴ - خطوط مستقیم تغییر شکل محوری پیدا نمی کنند.
۵ - خطوط مستقیم عمود بر صفحه میانی پس از تغییر شکل نیز مستقیم و عمود باقی می مانند.
۶-جا به جایی های صفحه ای u , v توابعی از z هستند .
۷- تیر دارای ضخامت ثابت می باشد.
۸ - اینرسی دورانی قابل صرف نظر می باشد.
با توجه به فرضیات فوق تنها مولفه کرنش صفحه ای  وجود دارد . شرایط ۵ و ۶ منجر به تعریف روابط زیر برای میدان جابه جایی تیر می­گردد:
(۳-۱)

به طوری که  مؤلفه های جابه جایی صفحه میانی می­باشد.
۳-۲-۲ تئوری تیر تیموشینکو