m
این رابطه نیروی وارد بر یون در میدان داخل دام را بیان می کند. سمت چپ بیانگر نیروی وارد بر یون در سه جهت x و y وz است.
که در اینجا پتانسیل در هر نقطه در داخل میدان و a شتاب یون خواهد بود به طور مشابه و را نیز می توان به دست آورد.
طبق معادلۀ (۱-۴۴)و (۱-۴۶) داریم:
m
m (۱-۵۷)
(۱-۵۸)
یا به طور دقیق معادلۀ متی یو به صورت زیر بیان می شود:
(۱-۵۹)
که پارامتر از محاسبۀ فاز میدان متناوب به دست می آید. هنگامی که یون تحت تأثیر آن قرار می گیرد، به این پارامتر، فاز اولیه گفته می شود.
می توان با دو برابر کردن آن نیز، فاز را در نظر بگیریم که ممکن است مثبت شود. بررسی هایی که در این بحث صورت می گیرد نشان دهنده حرکت یونی در هر دو جهت مختصاتی است که معمولاًَ به صورت مستقل از هم می باشند و فقط در یک سری ثابت ها با هم تفاوت دارند.
شکل (۱-۱۷) طراحواره ای از یک دام چهار قطبی هذلولی را نشان می دهد. الکترودهای کلاهک به ولتاژ و الکترود حلقه به زمین متصل شده است.
شکل ۱-۱۷
فصل دوم
روش حل معادلات حرکت در دستگاه­های چهارقطبی هذلولی
مقدمه
در روزهای اولیه، پیشرفت دستگاه­های چهارقطبی، محاسبات مربوط به آن توسط تئوری تحلیل انجام می شد و این تنها راه ممکن بود. که این کار اغلب پرزحمت و سنگین بود و باید سری­های طولانی از جملات جمع زده می­شدند. از وقتی که کامپیوترهای دیجیتال به طور عمومی قابل استفاده شدند انتگرال­گیری عددی از معادلات حرکت یون امکان­ پذیر شد و ترجیح داده می­شد. بعداً در برخی کاربردها، کاربرد روش ماتریسی که بر پایه دینامیک فضای فاز قرار دارد جای انتگرال­گیری عددی نقطه به نقطه را گرفت، زیرا متضمن محاسبات سریع­تر و ارزان­تر می­بود. ولی باز هم تئوری تحلیلی چند روش که به آن می­پردازیم. در به کارگیری میدان چهارقطبی و درک مطلب روش­های فیزیکی به ما کمک می­ کند.
مسائل مقدار اولیه:
در این نوع مسائل معادله دیفرانسیل با شرط اولیه معین می­شوند. تعیین مسیر یون با بهره گرفتن از انتگرال­گیری از معادله متی­یو یک مثال مناسب از این دسته است.
۲) مسائل مقدار مرزی:
در این دسته از مسائل راه حل برای شرایط داده شده در داخل مرزهای یک منطقه مورد نیاز است جریان گرمایی در یک میله و تعیین توزیع پتانسیل در مناطق در هم رفته، مثال­هایی از این نوع هستند.

معادله­ به فرم حالت خاصی از معادله هیل (Hill) است که معادله متی­یو نامیده می­ شود. به ازای مقادیری که پارامترهای a و q انتخاب کنند این معادله ممکن است جواب­های پایدار داشته باشد که در این صورت یون می ­تواند درون دام گرفتار شود و یا به دام نیفتد.
۲-۱ معادله هیل:
تعداد قابل توجهی از مسائل فیزیکی منجر به معادله­ دیفرانسیلی به شکل عمومی زیر می­ شود:
(۲-۱) ۰
F(t) یک تابع متناوب با دوره تناوب T است، که آن را می­توان به وسیله فوریه بسط داد. این معادله به عنوان معادله دیفرانسیل هیل شناخته می­ شود. در طیف­سنج­های چهارقطبی با هر شکل موج اعمال شده به شرط آن که متناوب باشد معادله حرکت، معادله هیل است.
شکل عمومی معادله هیل را می­توان به صورت زیر نوشت:
(۲-۲)
برای حالت این معادله با قرار گرفتن به معادله متی­یو تبدیل می­ شود. طبق قضیه فلوکت، یکی از جواب­های معادله (۲-۱) به صورت زیر است[۸]:
(۲-۳)
معادله حرکت تحت تبدیل ناورداست و جواب مستقل دوم با این جایگذاری در معادله (۲-۲) به دست می ­آید.
با جایگذاری معادله (۲-۲) در (۲-۱) و حذف فاکتور به یک سری نامتناهی از معادلات همزمان می­رسیم:
(۲-۴)
با نوشتن بر حسب و و با مساوی قرار دادن ضرایب هر یک از جملات با صفر به فرمول بازگشتی زیر بین مقدار می­رسیم که اگر باشد داریم:
(۲-۵)
n روی تمام مقادیر صحیح گرفته شده است بنابراین می­نویسیم که مقادیر ثابت به مقادیر بستگی دارد. [یا به (a,q) که حرکت موجی سینوسی دارند)] و به شرط اولیه بستگی ندارد. بعداً برای تعیین مقادیر توضیح می­دهیم که چگونه مشخصه نمایی را می توان پیدا کرد.
حل کامل معادله (۲-۱) از دو جواب مستقل خطی تشکیل شده است یعنی:
(۲-۶)
که و ثابت های انتگرال­گیری هستند و به شرط اولیه بستگی دارند.
همان­طوری که قبلاً بیان شد، فقط به مقادیر a و q وابسته است. شرایط پایداری را می­توان در نمودار a-q یا نمودار پایداری نمایش داد. به ازای جواب پایدار است که β حقیقی و غیرطبیعی است. مرزهای بین نواحی پایدار و ناپایدار با مشخص می­ شود که m یک عدد صحیح است. این جواب­ها توابع مرتبه صحیح نامیده می­شوند و مرزها، منحنی­های مشخصه یا مقادیر مشخصه نامیده می­شوند. مثلاً در نمودار پایداری شکل (۲-۱) برای یک دستگاه که به صورت سینوسی کار می­ کند، برای ناحیه اول پایداری، است و برای ناحیه دوم پایداری، است.
شکل ۲-۱: نمودار پایداری a و q برای معادله متی­یو با در نظر گرفتن معادله در یک جهت
اگر معادله (۲-۵) بر جمله مرکزی تقسیم شود، آنگاه دترمینان ضرایب همگرا می­ شود و چون با رابطه زیر داریم:
(۲-۷)
برای این که مجموعه معادلات سازگار باشند، این دترمینان باید صفر باشد، می­توان نشان داد که این معادل است با[۹]:
(۲-۸)
(۲-۹)
تقریب­های خوبی برای با در نظر گرفتن دترمینان کوتاه شده به عنوان دترمینان­های ۳×۲، ۵×۵، ۴×۷ مرکزی می­توان به دست آورد که به وسیله خطوط مقطع در معادله (۲-۷) نشان داده شده است. برای جداکننده جرم در حالت سینوسی، حتی با یک دترمینان ۵×۵ به تقریب­های خوبی می­رسیم که این مطلب بیان می­ کند هماهنگ­های مرتبه بالاتر در شکل موج که در اطراف نقطه قطع شدگی وارد می­شوند اثر کمی روی ماهیت حرکت یون دارد.
با بهره گرفتن از معادله (۲-۹) می­توان شرایط پایداری را برای به صورت زیر به دست آورد: