۵-۲۱
بر طبق این رابطه تغییرات کرنش پلاستیک، با مشتق نسبت به زمان عبارتی به نام تابع پتانسیل متناسب میباشد. ضریب پلاستیک نامیده می شود.تابع پتانسیل نیز وابسته به ، و میباشد اما رابطه صریح و مشخصی برای آن پیدا نشده است.با این وجود رابطه یک فرض آسان شونده در تئوری پلاستیسیته میباشد که ما نیز این فرض را در نظر میگیریم.در نتیجه
۵-۲۲
یک بردار در n بعد میباشد وهمانطور که در شکل۵-۲ نشان داده شده است، عمود بر سطح تسلیم است.برای یک حالت بخصوص مثل داریم
۵-۲۳
شکل۵-۲- سطح تسلیم فرضی و مشتقات آن نسبت به تنشهای اصلی
با جایگزینی معادله ۵-۱۹ در معادله ۵-۱۸ نتیجه می شود.
۵-۲۴
با ترکیب روابط ۵-۱۶ و ۵-۲۰ میتوانیم تغییرات تنش کل را به صورت زیر بنویسیم.
۵-۲۵
همانطور که در رابطه ۵-۱ اشاره کردیم . با دیفرانسیلگیری از این رابطه داریم
۵-۲۶
حال با دو فرض زیر رابطه را ساده تر خواهیم کرد.
۵-۲۷
۵-۲۸
با بهره گرفتن از روابط ۵-۲۴ و ۵- ۲۵و جایگذاری آنها در معادله ۵-۲۳ ،به فرم زیر میرسیم
۵-۲۹
در معادله ۵-۲۳ بردارa ،بردار جریان نامیده میشو . با بهره گرفتن از معادله ۵-۲۳ رابطه۵-۲۱ را میتوان به صورت زیر نوشت
۵-۳۰
در جایی کهD ماتریس ضرایب الاستیک است. حال دو طرف معادله رادر ضرب کرده و به معادله زیر میرسیم.]۳۳[
۵-۳۱
و در نهایت با بهره گرفتن از روابط ۵-۲۷ و ۵-۲۴ و جایگذاری آنها در معادله ۵-۲۶ رابطه الاستو پلاستیک تغییرات تنش- کرنش را بدست میآوریم.
۵-۳۲
۵-۳۳
ماتریس ضرایب الاستو پلاستیک میباشد. به منظور محاسبه ، ما نیاز به محاسبه بردار جریان مطابق رابطه ۵-۲۴ را داریم.
۵-۳۴
جایی که
۵-۳۵
بردار بردار مولفههای تنش میباشد که در کلیترین حالت شامل ۶ مولفه تنشی میباشد. با توجه به رابطه ۵-۸ داریم
۵-۳۶
حال با توجه به رابطه۵-۵، ۵-۳۰ و ۵-۳۲ توانایی محاسبه بردار a را داریم.
۵-۳۷
جایی که مطابق معادله بردارهایی مطابق روابط ۵-۳۳ تا ۵-۳۵ میباشند
۵-۳۸
۵-۳۹
۵-۴۰
ضرایب مطابق معادله ۵-۳۶ میباشد.
۵-۴۱
برای مسائل دو بعدی رابطه ۵-۳۳ حالت کلی ارائه شده میباشد. برای حالتهای تنش صفحهای، کرنش صفحهای ومحوری متقارن، رابطه ۵-۳۱ اصلاح میگردد.]۳۴[.
۵-۴۲
شکل۵-۳-نمونه اشکال تنش در صفحه(a)، کرنش در صفحه(b)، و متقارن محوری©
برای حالت های تنش صفحهای و کرنش صفحهای ، فرم مشخص برای ماتریس الاستیسیته به صورت زیر میباشد]۲۲[.
ماتریس سختی در حالت کرنش صفحهای مطابق معادله ۵-۳۸ میباشد
۵-۴۳
ماتریس سختی در حالت متقارن محوری مطابق معادله ۵-۳۹ میباشد
۵-۴۴
ماتریس سختی در حالت تنش صفحهای مطابق معادله ۵-۴۰ میباشد
۵-۴۵
