موجود بودن انرژی جنبشی ممکن است موجب شود که انشعاب ترک در سرعتی کمتر از رخ دهد. این مطلب در شکل ( ۲ – ۱۳– ب ) نشان داده شده است. وقتی که ترک به اندازه رشد کرد انرژی جنبشی کل در دسترس به وسیله سطح MNP در شکل ( ۲ – ۱۳ – ب ) نشان داده می شود. انرژی جنبشی می تواند برای گسترش ترک مصرف شود. فرض کنید که انشعاب در رخ داده و انرژی رانش ترک برای انشعاب از تبدیل انرژی جنبشی MNP بدست آمده است.اگر ترک دو شعبه شود انرژی لازم برای گسترش هر دو ترک به اندازه ԁa برابر است با ۲R . تصور کنید هر دو ترک از P تا S انتشار یابند. انرژی مصرفی کل برابر سطح QSTV می باشد. فقط قسمتی از این انرژی می تواند از انرژی ارتجاعی رها شده ( اصولا سطح NSTV ) تامین شود. اما قسمت باقیمانده یعنی سطح QSN قبلا توسط انرژی جنبشی MNP در شروع انشعاب تامین شده است.

در حین گسترش بیشتر ترک انرژی مصرفی بیشتر از انرژی تولیدی G می باشد. وقتی انرژی از قبل در دسترس توسط ترک ها مصرف شود دیگر انرژی اضافی که به انرژی جنبشی تبدیل شود وجود ندارد. بعد از رشد اضافی به اندازه ، انرژی جنبشی در دسترس توسط انشعاب ترک کاملا مصرف خواهد شد ( سطح MNP = سطح NQS ). انرژی جنبشی صفر معادل سرعت ترک صفر می باشد. بدین معنی که سرعت ترک به تدریج در S به صفر می رسد. چون نرخ انرژی ارتجاعی رهاشده هنوز برای دو ترک کافی است، توقف کامل ترک رخ نمی دهداما یک ناپایداری فورا ایجاد و ترک انشعابی به تدریج با شتاب بیشتری رشد می کند. انشعاب بیشتر به همین روش می تواند به وجود آید. مکانیزم شکل ( ۲ – ۱۳ – ب ) را می توان برای راحتی که مقدار رشد ترک کمتر از باشد نیز به کار برد.این مکانیزم در شکل ( ۲ – ۱۴ ) نشان داده شده است.پس از مقداری رشد ترک، انرژی جنبشی تامین شده برابر سطح TXV می باشد. چون انرژی جنبشی صرف رشد می شود انشعاب ترک نمی تواند رخ دهد. بعد از یک زمان کوتاه انرژی جنبشی مصرف می شود ( سطح TXV مساوی سطح XZAB ). بدین معنی که سرعت ترک ( هر دو ترک ) صفر می شود. نرخ انرژی ارتجاعی رها شده ( نقطه B ) برای تامین انرژی دو ترک کافی نمی باشد، اما بیش از انرژی لازم برای رشد یک ترک می باشد. مفهوم این عبارت این است که یکی از انشعاب ها دوباره ناپایدار شده و گسترش می یابد، در حالی که ترک دیگر کاملا متوقف شده است. کمی دورتر ( نقطه F ) امکان انشعاب دیگری به همان روش وجود داردامکان اینکه اولین انشعاب دوباره شروع به رشد کند وجود ندارد: زیرا ترک اولیه در پشت پیشانی ترک اصلی قرار دارد و بنابراین در منطقه ای است که تنش ها به طور قابل ملاحظه ای کاهش یافته اند انرژی جنبشی مساوی سطح BCDF شده است و می تواند توسط شاخه دوم مصرف شود( HFML )[1].
در این حالت نقش انرژی جنبشی در پیدایش ترک جدید را تاثیر داده ایم ولی ترک های انشعابی پس از تشکیل متوقف می گردند. در این حالت سرعت مینیمم لازم برای انشعاب خیلی کمتر از می باشد. در نقطه B انرژی الاستیک رها شده برای دو ترک کافی نیست ولی بیش از انرژی لازم برای یک ترک است. لذا یکی از ترک ها متوقف می گردد ولی دیگری به رشد خود ادامه می دهد. در نقطه F که انرژی لازم برای دو ترک در دسترس می باشد یک ترک جدید شروع به رشد می کند نه ترک متوقف شده قبلی. زیرا آن ترک در پشت نوک ترک اصلی قرار گرفته و در ناحیه پشت نوک ترک، تنش به طور قابل ملاحظه ای کاهش یافته است.
گاهی انشعاب ترک در عمل دیده شده است. بخصوص در حالت شکست ترد، ترک ها با سرعت زیادی انشعاب می یابند، مثل خرد شدن شیشه.
انفجار منابع تحت فشار و تکه تکه شده آن ها نیز در اثر انشعاب ترک می باشد. اگر G پیوسته افزایش یابد این انفجار آسانتر خواهد بود. یعنی در منابع حاوی گاز و پوسته ها انفجار نسبت به منابع حاوی مایع خیلی آسانتر انجام می شود. در مورد سرعت لازم جهت انشعاب ترک یک سردرگمی و خلط مبحث وجود دارد. سرعت اندازه گیری شده با آنچه تئوری پیش بینی می کند موافقت ندارد.
شکل ۲ – ۱۴ : گسترش نیافتن شاخه های ترک [۱]
مطابق شکل ( ۲ – ۱۳ – الف ) اگر انشعاب بدون کمک انرژی جنبشی رخ دهد سرعت لازم ترک حدود می باشد.اما اگر انرژی جنبشی را بتوان برای گسترش ترک به کار برد در سرعت های کمتری از پدیده انشعاب رخ می دهد. در حالتی که ترک های انشعابی گسترش می یابند ( شکل ۲ – ۱۳ – ب ) می نیمم گسترش ترک برای انشعاب می باشد. در اینصورت و مینیمم سرعت ترک برای انشعاب می باشد. در حالتی که ترک های انشعابی گسترش نیافته و متوقف می گردد سرعت لازم برای ترک خیلی کمتر از خواهد بود[۱].
بدون شک یکی از علل اختلاف تئوری و تجربی، اثرات دینامیکی روی G و R می باشد که در تئوری از آن صرف نظر شده و اثر دیگر ثابت نبودن و در نتیجه خطی نبودن G در طول آزمایش است. بخصوص در آزمایش لبه ها ثابت، زاویه بین ترک های انشعابی می توان به دست آورد. زاویه بین ترک های انشعابی در حدود ۱۵ درجه می باشد[۱].
۲ – ۱۷ انشعاب متقارن برای ترک مد I

شکل ۲ – ۱۵ : انشعاب متقارن [۲۱]
انشعاب متقارن در شکل (۲ – ۱۵ ) برای ترک مد I نشان داده شده است که یکی از الگوهای معمولی انشعاب است تحت شرایط مناسب نرخ انرژی رهاشده برای انشعاب به صورت زیر است[۲۱] :
( ۲ – ۵۰ )
نرخ انرژی رهاشده با توجه به با گذاشتن = ۰ بیشینه می شود یعنی
که زاویه بحرانی ترک را می دهد:
یک مثال تجربی برای انشعاب ترک در شکل ( ۲ – ۱۶ ) نشان داده شده است.

شکل ۲ – ۱۶ : یک مثال تجربی از انشعاب ترک مد I [22]
انشعاب جانبی برای ترک مد I :
انشعاب جانبی برای ترک مد I در شکل ( ۲ – ۱۷) نشان داده شده است. نرخ انرژی رها شده برای نوک در ترک انشعاب جانبی به صورت زیر است[۲۱]:
( ۲ – ۵۱ )
که زاویه بحرانی ترک به صورت زیر می شود:

شکل ۲ – ۱۷ : انشعاب جانبی برای ترک مد I [21]

شکل ۲ – ۱۸ : یک مثال تجربی از crack side – branching از ترک مد I [23]
فصل سوم
فصل سوم تئوری انشعاب
تئوری انشعاب
۳ – ۱ مقدمه
برای بررسی انشعاب در ریاضیات چندین خانواده تابع ، تابع لوگوستیک^[۴۴] ، تابع نمایی^[۴۵] و تابع سینوس مورد بررسی قرار می گیرند که در اینجا و ثابت هستند. ثابت های ، و پارامتر نامیده می شوند این توابع به عنوان مرجع استفاده می شود و نقاط انشعاب آنها مورد بررسی قرار می گیرند. با بررسی معادلات موجود در تئوری های مکانیک شکست به این نتیجه رسیده می شود که تابع به معادلات موجود در تئوری های مکانیک شکست نزدیکتر است و با اندکی تغییر می توان آن ها را به این شکل در اورد. به همین دلیل در این فصل تابع مورد بررسی قرار گرفته و نقاط انشعاب این تابع و شکل انشعاب ان مورد بررسی قرار گرفته شده است [۲۴].
۳- ۲ تکرار توابع
برای تکرار یک تابع ما باید تابع را پی در پی با بهره گرفتن از خروجی محاسبه قبلی به عنوان ورودی برای بعدی بررسی کنیم. ما این را به صورت زیر می نویسیم :
برای تابع ، تکرار دوم از تابع یعنی است و تکرار سوم از تابع است. به طور کلی ترکیب n ام با خودش است. به عنوان مثال اگر باشد پس [۲۴,۲۵]:
۳ – ۳ چرخه ها
داده شده است. ما چرخه را تحت که توالی از نقاط باشد تعریف کردیم. نقطه بذر^[۴۶] چرخه نامیده می شود.
به عنوان مثال اگر و نقاط اولیه چرخه به صورت زیر است:
۳ – ۴ نوع چرخه ها
تعداد زیادی از انواع چرخه ها در سیستم های دینامیکی معمولی وجود دارند. بدون شک مهمترین نوع چرخه نقطه ثابت است. یک نقطه ثابت یک نقطه است که را براورده می کند. توجه کنید که و به طور کلی . بنابراین چرخه نقطه ثابت توالی ثابت است یک نقطه ثابت هرگز تغییر نمی کند. همان طور که اسمش اشاره می کند توسط تابع ثابت شده است. به عنوان مثال ۰، ۱ و ۱- همه نقاط ثابت برای هستند درحالی که ۰ و ۱ تنها نقاط ثابت برای هستند. نقاط ثابت با حل تابع زیر به دست می آیند:
( ۳ – ۱ )
نقاط ثابت ممکن است همچنین به طور هندسی توسط بررسی تقاطع نمودار با خط قطری پیدا شوند. به عنوان مثال شکل (۳ - ۱) نشان می دهد که تنها نقطه ثابت ، است. چون تنها نقطه تقاطع نمودار S با خط قطری است. به همین نحو یک نقطه ثابت در ۷۳۹۰۸۵/۰ دارد که در شکل ( ۳ – ۲ ) نشان داده شده است[۲۴,۲۵].
۳ – ۱: نقطه ثابت تابع صفر است [۲۴].
شکل ۳ – ۲: نقطه ثابت تابع ، ۷۳۹۰۸۵/۰ است [۲۴].
نوع مهم دیگر از چرخه ها ، چرخه تناوبی^[۴۷] است. نقطه تناوبی است اگر برای باشد. کمترین مقدار n تناوب اصلی^[۴۸] چرخه نامیده می شود. توجه کنید اگر تناوبی با تناوب اصلی n باشد پس چرخه یک توالی تکرار کننده از شماره ها است.
( ۳ – ۲ )
به عنوان مثال ۰ در یک چرخه از تناوب اصلی دو برای قرار می گیرد
چون و . بنابراین چرخه ۰ به صورت زیر است:
ما همچنین می گوییم ۰ و ۱- یک چرخه دوگانه^[۴۹] تشکیل می دهند. به همین نحو ۰ در یک چرخه تناوبی با تناوب اصلی ۳ یا چرخه سه گانه برای تابع قرار می گیرد چون ، و . بنابراین چرخه به صورت زیر است:
نقطه ، نقطه سرانجام ثابت^[۵۰] یا نقطه سرانجام تناوبی^[۵۱] نامیده می شود اگر خودش ثابت یا تناوبی نیست اما بعضی نقاط روی چرخه ثابت یا تناوبی است. به عنوان مثال ۱- نقطه سرانجام ثابت برای تابع است چون که یک نقطه ثابت است.
به همین نحو نقطه سرانجام تناوبی برای تابع است چون است که در یک چرخه ای از تناوب دو قرار می گیرد[۲۴].
۳ – ۵ تحلیل گرافیکی
فرض کنیم نمودار تابع را داریم و می خواهیم چرخه نقطه را نمایش دهیم. با قرار دادن خط روی نمودار شروع می کنیم. همان طور که قبلا دیدیم نقطه تقاطع خط قطری با گراف به ما نقطه ثابت نمودار را می دهد. برای اینکه چرخه را پیدا کنیم ما با نقطه ( , ) روی قطر بالای روی محور شروع می کنیم. ما ابتدا یک خط قائم بر نمودار رسم می کنیم. موقعی که این خط به نمودار رسید ما به نقطه ( , ) می رسیم. ما سپس یک خط افقی از این از این نقطه به قطر رسم می کنیم. ما به قطر در نقطه ای که مختصات آن است می رسیم و بنابراین مختصات آن همچنین است. بنابراین ما به قطر بالای نقطه ای که مختصات آن است که نقطه بعدی روی چرخه می رسیم.
حالا این روش را ادامه می دهیم ویک خط قائم از (, (روی قطر بر نمودار رسم می کنیم که به نقطه ( , ) می رسیم . سپس یک خط افقی به قطر رسم می کنیم که به قطر در نقطه ( , ) بالای نقطه بعدی در چرخه می رسد.برای اینکه چرخه را به طور هندسی نمایش بدهیم بنابراین ما این روش را ادامه می دهیم: ما ابتدا یک خط قائم از قطر به گراف رسم می کنیم سپس یک خط افقی از نمودار به قطررسم می کنیم . شکل ۳- ۳ یک کاربرد معمولی از تحلیل گرافیکی را نشان می دهد. این روش ممکن است استفاده شود تا بعضی از رفتارهای دینامیکی را که قبلا مشاهده کردیم توصیف کنیم. به عنوان مثال در شکل ۳ – ۴ تحلیل گرافیکی رسم شده است. توجه کنید که هر نقطه به ما یک پله^[۵۲] می دهد که به نقطه تقاطع گراف با قطر منجر می شود[۲۴].
شکل ۳ -۳ : تحلیل گرافیکی [۲۴]
شکل ۳ -۴ : تحلیل گرافیکی تابع [۲۴]
در شکل ۳ – ۵ نمودار تحلیل گرافیکی رسم شده است. توجه کنید که هر چرخه ای در این مورد دوباره به نقطه تقاطع نمودار C با قطر تمایل دارد. همچنانکه ما به طور عددی قبلا مشاهده کردیم این نقطه به طور تقریبی با ۷۳۹۰۸ /۰( به رادیان) داده می شود [۲۴].
شکل ۳ – ۵ : تحلیل گرافیکی تابع [۲۴]