و تجزیه عملگر غیرخطی به­ صورت
که در آن ، یک چند جمله­ای بر حسب ، و است که به آن­ها چند جمله­ای آدومین می­گویند و توسط جورج آدومین به­ صورت زیر تعریف شده است
فرض کنید دستور صریحی برای تعیین چند جمله­ای­های آدومین داشته باشیم. یعنی با توجه به­ صورت عملگر غیر­خطی ،ها به­دست آمده باشند. بنابر­این معادله به­ صورت زیر نوشته می­ شود.

, _n -) _n -( _n
n=g –
بنابراین
با بهره گرفتن از این رابطه، ها به­ صورت زیر به­دست می­آیند
:
تا وقتی­که ها برای معین باشند، تمام جملات را می­توان محاسبه کرد. در عمل را می­توان به­ صورت مجموع جمله از سری تقریب زد .
بنابراین تقریب جمله­ای را برای جواب مساله به­ صورت زیر در نظر می­گیریم
,
:۲-۲-۲مثال
در این مثال تابع گاما ^[۵]را با روش تجزیه آدومین حل محاسبه می­کنیم.
تابع گاما بارها در مسائل فیزیکی و آماری ظاهر می­ شود هم­چنین این تابع دارای کاربردهای مستقیم در نظریه معادلات دیفرانسیل می­باشد. به عنوان مثال در تعریف تابع و معادله دیفرانسیل بسل نمی­ توان نقش این تابع را نادیده گرفت. تابع گاما به­عنوان تعمیم تابع فاکتوریل هم در نظر گرفته می­ شود.
تابع گاما به­ صورت زیر تعریف می­ شود
برای محاسبه تابع گاما توسط روش تجزیه آدومین معادله خطی مرتبه اول زیر را در نظر می­گیریم
جواب تحلیلی معادله (۱۳-۲) عبارت است از
که . لذا از رابطه (۱۲-۲) و (۱۴-۲) داریم
محاسبه تابع گاما با روش تجزیه آدومین
با در نظر گرفتن عملگر خطی ، (۱۲-۲) را می­توان به صورت زیر نوشت
یا
در روش تجزیه آدومین جواب را به­ صورت سری در نظر می­گیریم. پس فرض می­کنیم
که ، و
در نتیجه از (۱۵-۲) و(۱۹-۲) ، داریم
به­عنوان مثال فرض کنید ، از رابطه (۲۰-۲) داریم
بنابراین
حال نشان می­دهیم که .
فرض کنید ، از (۲-۲۰) و (۱۹-۲) داریم
لذا برای ، .
چون
بنابراین
۲-۲-:۳ مثال معادله برگرز^[۶]
معادله برگرز یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم غیر­خطی است. از این معادله برای تشریح حرکت سیالات و بررسی لایه­ های مرزی و امواج ضربه­ای، حرکت و جا به ­جایی اجرام و هم­چنین در علوم مهندسی به عنوان مدلی ساده برای نمایش آشفتگی و تلاطم به کار می­رود.
معادله برگرز در حالت یک بعدی با شرایط اولیه زیر را در نظر بگیرید
، فرض می­کنیمعملگر خطی
بنابراین وارون عملگر فوق، ^-۱ ، به­ صورت زیر تعریف می­ شود
با اعمال ^-۱ در دو طرف معادله و با بهره گرفتن از شرایط مرزی داریم
با جای­گذاری ، داریم
بنابراین بعد ازانتگرال گرفتن و ساده سازی داریم
لذا جواب را به­ صورت زیر به­دست می­آوریم
۲-۳: حل معادلات هذلولوی با روش تجزیه آدومین
معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم زیر را در نظر می­گیریم
که در آن ضرایب توابعی بر حسب هستند. اگر در این معادله ، آن­گاه معادله دیفرانسیل از نوع هذلولوی است. فرض می­کنیم شرایط اولیه و مرزی معلوم باشند .
برای حل معادلات هذلولوی با دو متغیر مستقل با روش تجزیه آدومین، با توجه به شرایط اولیه و مرزی داده شده، برای انتخاب عملگر معکوس پذیر سه حالت وجود دارد.
استفاده از عملگر