مدل ARIMA
گام ۲
GARCH/ N, t, GED
GARCH-M/ N, t, GED
EGARCH/ N, t, GED
EGARCH-M/ N, t, GED
IGARCH/ N, t, GED
IGARCH-M/ N, t, GED
منظور از پارامترهای GED,t ,N به ترتیب توزیعهای نرمال،تی-استیودنت و توزیع خطا تعمیمیافته[۱۵۲] میباشد.
گام ۳
MSEGARCH/ N, t, GED
MSIGARCH/ N, t, GED
MSGARCH/ N, t, GED
MSIGARCH-M/ N, t, GED
MSGARCH-M/ N, t, GED
MSEGARCH-M/ N, t, GED
در گام فوق مدلهای خانواده GARCH با مدلهای سوئیچینگ مارکوف (MS[153]) تلفیق شدهاند که در این باره شناخت کافی از مدلهای سوئیچینگ مارکوف و نحوه تلفیق آنها با مدلهای خانواده GARCH ضروری میباشد.
گام ۶
ارزش در معرض ریسک (VaR)
گام ۷
ARDL
شکل (۳-۱) مبانی ریاضی مدلهای مورد استفاده در ساختار ۷ گامی اندازهگیری ریسک بازده صنعت از نوسانات نرخ ارز
در ادامه به تشریح مبانی ریاضی مدلهای فوقالذکر پرداخته میشود.
۳-۳-۱ مدل ARIMA
فرآیندARIMA(P,d,q) برای متغیر x را می توان به صورت رابطه زیر نشان داد:
(۳-۱)
که در آن :
وf(t) روند زمانی را (در صورت وجود) در برآورد می کند. در اکثر متغیر های اقتصادی، معمولاًd=1 بوده در نتیجهµ f(t)= و یا d=0 می باشد[۱۵۴]و
در فرایند q,d,P ,ARIMA(P,d,q)به ترتیب بیانگر تعداد جملات خود رگرسیو، مرتبه تفاضل گیری وتعداد جملات میانگین متحرک می باشند. در صورتی که d برابر با صفر گردد، فرایند ARIMA تبدیل به فرایند ARMA میگردد. معمولاً برای تخمین الگویARIMA و ARMA از روش باکس- جنکینز استفاده میشود که دارای چهار مرحله شناسایی، تخمین، تشخیص دقت پردازش و پیشبینی میباشد. تعداد جملات خود رگرسیو و تعداد جملات میانگین متحرک معمولاً با بهره گرفتن از توابع خودهمبستگی[۱۵۵](AC) و خودهمبستگیجزئی[۱۵۶](PAC) محاسبه میگردد (صادقی و ذوالفقاری، ۱۳۹۰).
۳-۳-۲ مدلهای خانواده GARCH
۳-۳-۲-۱ مدل GARCH
فرایند GARCH(p,q) دارای تابع واریانس شرطی به صورت زیر است:
(۳-۲)
که در آن P>0 و و
برای بهتر تعریف کردن واریانس شرطی مدل GARCH(p,q)، باید تمام ضرایب مدل مثبت باشند، و شرط آن این است که (L) α و (L) β دارای ریشههای مضاعف (تکراری) نبوده و ریشههای (L) β خارج از دایره واحد قرار داشته باشند. این قید مثبت بودن برقرار میگردد، اگر و فقط اگر تمام ضرایب غیرمنفی (صفر یا مثبت) باشند. برای یک فرایند GARCH(1,1) داریم:
(۳-۳)
فرایند GARCH میتواند مانای کمتوان (ضعیف) باشد، اگر و فقط ریشههای خارج از دایرهی واحد قرار داشته باشند، یعنی: (بلرسلوف ،۱۹۸۶).
۳-۳-۲-۲ مدل GARCH- M
وجود همبستگی مثبت میان ریسک و بازده یکی از تئوریهای مطرح در مباحث مالی را تشکیل میدهد. بر این اساس صرف ریسک بیشتر، بازدهی بیشتری را به همراه خواهد داشت. مدل GARCH-M این ویژگی را مدلسازی میکند (کیم و کن، ۱۹۹۴) ساختار یک مدل GARCH-M استاندارد را میتوان به صورت زیر نشان داد (انگل، ۲۰۱۰):
(۳-۴)
۳-۳-۲-۳ مدل IGARCH
معادلهی واریانس معادلهی GARCH میتواند بهصورت زیر باشد:
(۳-۵)
مطالعات تجربی انگل و بلرسلوف (۱۹۸۶) نشان میدهد که تخمین چندجملهای دارای ریشه واحد در بعضی از کاربردهای GARCH است. در بسیاری از مطالعات تجربی انجام شده روی مدل GARCH(1,1)، مقدار ، خیلی نزدیک به ۱ است، اگر چنین باشد، آنگاه دارای یک ریشه واحد است و این مدل را GARCH انباشته یاIGARCH مینامند (انگل و بلرسلو (۱۹۸۶). در اغلب موارد این حالتی است که در آن برای سریهای زمانی مالی، نزدیک واحد است. اگر این شرط برقرار باشد، شوک وارد شده به واریانس شرطی دیرپا بوده و به آن مفهوم است که این شوک برای پیشبینی تمام آینده با اهمیت خواهد بود. در مدل IGARCH با در نظر گرفتن چندجملهای
(۳-۶)
که تمام ریشههای خارج از دایره واحد را در بر میگیرد، انگل و بلرسلوف (۱۹۸۶) مدل IGARCH را پیشنهاد دادند.
(۳-۷)
که در آن است. مدلIGARCH که به صورت زیر نشان داده شده است:
(۳-۸)
معادله فوق یک مدل جایگزین مناسب برای GARCH(1,1) است. به طور کلی میتوان گفت مدل IGARCH، تابع GARCH با ریشه واحد است. از نظر تئوری، مدل IGARCH وقتی اتفاق میافتدکه یک انتقال سطحی ناگهانی در تلاطمها صورت گیرد (بلرسلو و همکاران، ۲۰۰۷).
۳-۳-۲-۴ مدل IGARCH-M
همبستگی مثبت میان ریسک و بازده در مدل ناهمسانی واریانس شرطی انباشته بصورت زیر میباشد:
(۳-۹)
۳-۳-۲-۵ مدل EGARCH
در مدل GARCH نمایی نلسون (۱۹۹۱) (EGARCH) در صورت درنظر گرفتن یک واکنش نامتقارن به شوکها، معادله زیر جهت برآورد واریانس شرطی درنظر گرفته میشود.
(۳-۱۰) Log ()=
در آن: