مدل سیگنال ارائه شده بر اساس مفروضات زیر، بیان می گیرد:
-
- منابع ارسال سیگنال، منابع باند باریکی هستند که در فاصله کاملاً دوری از آنتن آرایه ای، واقع
شده اند.
- منابع ارسال سیگنال، منابع باند باریکی هستند که در فاصله کاملاً دوری از آنتن آرایه ای، واقع
-
- منابع انتشار سیگنال به عنوان منابع نقطه ای تعریف می گردند.
-
- محیط انتشار، از نوع همگن، و موج دریافتی به صورت صفحه ای فرض می گردد.
فرض می کنیم آرایه از سنسور، به صورت خطی ([۶۲]) در فاصله از یکدیگر قرار دارند و سیگنال باند باریک با زاویه های ورود به آرایه وارد می شود. خروجی این آرایه در L لحظه نمونه برداری شده، که با نمایش داده می شود. بنابراین بردار مشاهده سنسور به صورت زیر مدلسازی می گردد:
(۲-۹۴)
(۲-۹۵)
که در آن ، یک ماتریس ، با بردارهای پاسخ آرایه ای به شکل زیر می باشد:
(۲-۹۶)
و یک بردار از سیگنال ارسالی و بردار نویز با ابعاد ، λ طول موج سیگنال،
فاصله بین سنسور ها و معرف ماتریس ترانهاده می باشد. هم چنین ماتریس کوواریانس آرایه (ماتریس خودهمبستگی)، یعنی را می توان به صورت زیر معرفی نمود:
(۲-۹۷)
که ماتریس ماتریس کوواریانس منابع با ابعاد، ماتریس کوواریانس نویز با ابعاد و ، معرف ماتریس هرمیتین[۶۳] می باشد.
با توجه به این که ماتریس کوواریانس ، موجود نمی باشد، می توان آن را با بهره گرفتن از نمونه هایی از سیگنال دریافتی به صورت زیر تخمین زد:
(۲-۹۸)
۲-۶- ماتریس کوواریانس
با توجه به این که را به عنوان خروجی آرایه ها تعریف کرده ایم، در صورت بار نمونه برداری در لحظات ، در حقیقت بردار مشاهده خواهیم داشت که می توان آن را به صورت ماتریس مشاهده به شکل زیر تعریف نمود:
(۲-۹۹)
که ماتریس های و ، نیز مشابه ماتریس تعریف می گردند. برای محاسبه DOA سیگنال های ورودی، از گشتاور دوم خروجی آرایه استفاده می گردد. طبق فرض، سیگنال و دارای میانگین صفر و مستقل از هم می باشند. هم چنین هر دو فرایند گوسی مختلط بوده و گشتاور دوم آن به صورت زیر قابل تعریف خواهد بود:
(۲-۱۰۰)
(۲-۱۰۱)
(۲-۱۰۲)
(۲-۱۰۳)
که در آن ، یک ماتریس (ماتریس نامعلوم کوواریانس منابع)، ، ماتریس کوواریانس نویز و ، ماتریس واحد می باشد.
اگر ماتریس، قطری و غیر منفرد باشد، در این صورت، تمام منابع نا همبسته[۶۴] خواهند بود. در صورتی که ، غیر قطری و منفرد باشد، در واقع زیر مجموعه ای از منابع وجود دارد که نسبت به یکدیگر همبسته
می باشند. به طور مشابه، اگر ماتریس ، غیر قطری اما غیر منفرد باشد، منابع به صورت جزئی همبسته خواهند بود با توجه به رابطه(۲-۱۰۱)، یک فرایند از نظر زمانی سفید، و دارای مقدار ثابت در محدوده فرکانسی مورد نظر خواهد بود. هم چنین نویز پردازشی هر سنسور، مستقل از یکدیگر و طیف مکانی آن سفید می باشد(به صورت کلی برای نویز غیر سفید، می توان ابتدا عملیات سفیدسازی را اجرا نمود).
با توجه به فرضیات بالا، خروجی آرایه، یک ماتریس گوسی مختلط با میانگین صفر بوده و ماتریس کوواریانس آن به شکل زیر نمایش داده می شود:
(۲-۱۰۴)
با فرض مشخص بودن ماتریس ، که شامل بردار به ازای و با های متفاوت و مستقل از یکدیگر به ازای هر مجموعه از ، ماتریس ، یک ماتریس با مرتبه کامل می باشد.
فصل سوم
جهت یابی سیگنال های پهن باند
۳-۱- مقدمه
در این فصل، ابتدا به معرفی سیگنال های پهن باند پرداخته و سپس مدل آنتن های آرایه ای در دریافت سیگنال های پهن باند را معرفی می نماییم و پس از آن، در ادامه تکنیک های مختلف جهت یابی
سیگنال های باند پهن را مورد بررسی قرار خواهیم داد. در حقیقت، اساس تکنیک هایی که در این فصل مورد بررسی قرار می گیرند، استفاده از می باشد. همانطور که در ادامه فصل خواهیم دید، روش های جهت یابی پهن باند، خود به دو بخش کلی جهت یابی همبسته و جهت یابی ناهمبسته
تقسیم بندی می شوند. از روش های جهت یابی ناهمبسته می توان به روش های و و از روش های جهت یابی همبسته می توان به روش های ، ، و اشاره نمود که در طول این فصل، الگوریتم های آن به طور کامل مورد بررسی قرار خواهد گرفت.
۳-۲- معرفی سیگنال های باند پهن
سیگنال های پهن باند[۶۵]، سیگنال هایی هستند که انرژی سیگنال در یک باند فرکانسی، گسترش یافته که این باند فرکانسی نسبت به فرکانس مرکزی سیگنال، بسیار بزرگتر است. در حالتی که سیگنال های محیط، پهن باند باشند، استفاده مستقیم از روش های جهت یابی باریک باند مقدور نخواهد بود. دلیل این ناتوانی این است که روش های جهت یابی باند باریک، تأخیر بین سنسورهای مختلف را به صورت مستقیم فقط به صورت شیفت فاز اعمال می کنند. هنگامی که پهنای باند سیگنال نسبت به فرکانس مرکزی آن کوچک باشد، این فرض صحیح است و می توان تأخیر بین سنسورها را به صورت مستقیم در اختلاف فاز جای داد. اما هنگامی که پهنای باند سیگنال بزرگ باشد، دیگر چنین فرضی برقرار نیست و نمی توان تأخیر بین سنسورها را در یک اختلاف فاز ساده جای داد[۱]. برای درک بهتر، سیگنال را در نظر بگیرید. ارتباط بین این سیگنال و تبدیل فوریه آن به صورت زیر است:
(۳-۱)
حال اگر سیگنال باریک باند و حول فرکانس مرکزی باشد، روابط زیر برقرار است:
(۳-۲)
همان گونه که از رابطه (۳-۲) پیداست، اختلاف فازی که در سیگنال به وجود آمده است، مستقل از زمان است. باید توجه داشته باشیم که تأخیر زمانی وابسته به مکان قرارگیری سنسورهای آرایه است.
به دلیل مزایایی که آرایه خطی یکنواخت نسبت به سایر آرایه ها دارد، در این پایان نامه بر روی این نوع از آرایه ها تمرکز می نماییم و روش های جهت یابی را روی آرایه خطی یکنواخت بررسی و شبیه سازی خواهیم نمود.
با توجه به توضیحات داده شده، در حالت باند باریک، سیگنال دریافتی توسط آرایه خطی یکنواخت، به صورت زیر مدل می شود:
(۳-۳)
