تقسیم هر وزن بر مجموع اوزان سبب استاندارد کردن آن‌ها می‌گردد، به گونه‌ای که مجموع اوزان برابر واحد می‌شود. تغییرات کمیت مربوط به توان معکوس فاصله، باعث قابلیت و انعطاف‌پذیری بسیار زیاد تخمین‌گرهای معکوس گردیده است. با نزدیک شدن مقدار α به صفر، تخمینگر معکوس فاصله رفتاری همانند تخمینگر میانگین ساده (حسابی) از خود نشان می‌دهد.
کریجینگ (تخمینگر آماری)
تخمین زمین‌آماری فرآیندی است که طی آن می‌توان مقدار کمیت در نقاطی با مختصات معلوم را با بهره گرفتن از مقدار همان کمیت در نقاط دیگری با مختصات معلوم بدست آورد. این تخمینگر زمین‌آماری را به افتخار دی.جی.کریج بنیانگذار آن کریجینگ گویند. در میان روش‌های زمین‌آماری، کریجینگ یک روش درون‌یابی خطی است که بهترین تخمین‌های خطی نااریب را برای مقادیری که در فضا گسترده‌اند، فراهم می‌کند. تخمین‌های کریجینگ به عنوان مجموع وزن‌دار شده غلظت نمونه‌های مجاور محاسبه می‌گردد. بنابراین اگر داده‌ها خیلی در فضا گسترده باشند، نقاطی که به نقطه مورد تخمین نزدیک‌تر هستند نسبت به آن‌هایی که دورترند، وزن بیشتری دریافت می‌کنند (کریس، ۱۹۹۰).
از مهمترین ویژگی‌های کریجینگ این است که به ازای هر تخمینی، خطای مرتبط با آن را می‌توان محاسبه کرد. بنابراین برای هر مقدار تخمین زده شده می‌توان دامنه اطمینان آن تخمین را محاسبه کرد. کریجینگ روش ایجاد تخمین‌های بهینه و نااریب متغیر در مناطق نمونه‌برداری نشده با بهره گرفتن از ویژگی‌های ساختاری نیم‌تغییرنما و مقادیر داده‌ها است. ساده‌ترین شکل‌های کریجینگ شامل تخمین مقادیر نقاط (کریجینگ نقطه‌ای) و یا سطوح (کریجینگ بلوکی) بر این فرض استوارند که داده‌ها توزیع نرمال دارند و از فرضیات ایستایی پیروی می‌کنند (ترانگمار و همکاران، ۱۹۸۵).
انواع کریجینگ
الف.کریجینگ نقطه‌ای[۷۹]
در صورتیکه مقادیر اندازه‌گیری شده و مقادیر مورد تخمین به وسیله کریجینگ به نقطه نسبت داده شوند، کریجینگ را نقطه‌ای می‌نامند. در حالت کلی برداشت نمونه به صورت نقطه‌ای امکان‌پذیر نیست و حتی نمونه‌های خیلی کوچک نیز دارای حجم هستند. در صورتیکه ابعاد نمونه در مقابل دامنه تغییرنما کوچک باشد، می‌توان آن را با تقریب نقطه‌ای فرض کرد
ب.کریجینگ بلوکی[۸۰]
در کریجینگ بلوکی، محدود مورد نظر به بلوک‌هایی با مرکزیت مشخص تقسیم می‌شوند و یک مقدار برای یک سطح یا بلوک به مرکزیت x0 تخمین زده می‌شود. در واقع برای مناطق مجزا یا بلوک‌ها مانند (کرت‌ها یا واحدهای مدیریتی) از کریجینگ بلوکی استفاده می‌شود. نقشه‌های حاصل از بلوک کریجینگ، نسبت به کریجینگ نقطه‌ای صاف‌تر و هموارترند به علاوه واریانس تخمین در کریجینگ بلوکی کمتر از کریجینگ نقطه‌ای است (ترانگمار، ۱۹۸۵). یکی از شیوه‌های دستیابی به تخمین‌های قطعه‌ای، تقسیم محدوده مورد نظر به تعداد معینی نقطه است. سپس تخمین در نقاط مربوطه انجام می‌گیرد (تخمین نقطه‌ای)، میانگین تخمین‌های نقطه‌ای در قطعه و محدوده مورد نظر را می‌توان به عنوان متوسط تخمین برای آن قطعه در نظر گرفت. هرچند این روش از نظر مفهومی ساده است، اما از نظر محاسباتی وقت‌گیر و پر هزینه است. راه حل این مشکل، استفاده از روشی است که طبق آن تنها با در اختیار داشتن یک سیستم کریجینگ برای تخمین هر قطعه، می‌توان محاسبات مربوط را به طور چشمگیری کاهش داد. این روش را کریجینگ بلوکی یا قطعه‌ای گویند (محمدی، ۱۳۸۵).
معادلات کریجینگ
کریجینگ یک میانگین متحرک وزن‌دار است و به این‌صورت تعریف می‌شود:
| : مقدار تخمین زده شده : وزنی که به نمونه تعلق می‌گیرد : مقدار نمونه iاُم |
|
این نوع کریجینگ را کریجینگ خطی[۸۱] گویند و شرط استفاده از این تخمینگر این است که متغیر Z توزیع نرمال داشته باشد. تخمینگر کریجینگ بهترین تخمینگر نااریب[۸۲] (BLUE) است، بنابراین باید عاری از خطای سیستماتیک باشد و واریانس تخمین آن حداقل باشد. به منظور برقراری شرط اول یعنی عاری بودن از خطای سیستماتیک باید مجموع وزن‌ها برابر یک باشد و میانگین خطای تخمین باید صفر باشد.
تخمین نااریب است اگر:
و واریانس تخمین باید حداقل باشد
مجموع وزن‌هایی که به نمونه‌های واقع در همسایگی نقطه مورد تعلق می‌گیرد برابر یک است و به این صورت اثبات می‌شود:
با توجه به اینکه:
برای بررسی شرط دوم، باید واریانس تخمین را محاسبه کرد و سپس تابع حاصل را به حداقل رساند:
| : واریانس تخمین : میانگین تغییرنما در حالتی که یک سر بردار h در نمونه iاُم و سر دیگرش در بلوک مورد تخمین باشد. : میانگین تغییرنما در حالتی که یک سر بردار h در نمونه و سر دیگرش در نمونه باشد. |
|
برای آن‌که واریانس تخمین کریجینگ حداقل شود، لازم است تابع σ۲E بر حسب ضرایب کریجینگ (λi) حداقل شود. در ضمن باید شرط برقرار باشد. در اینجا پارامتری به نام ضریب لاگرانژ (μ) معرفی می‌گردد. با درنظر گرفتن آن و محاسبه مشتقات معادلات کریجینگ به این صورت درمی‌آید:
